[HNOI2017]抛硬币

Description
小A和小B是一对好朋友，他们经常一起愉快的玩耍。最近小B沉迷于××师手游，天天刷本，根本无心搞学习。但是已经入坑了几个月，却一次都没有抽到SSR，让他非常怀疑人生。勤勉的小A为了劝说小B早日脱坑，认真学习，决定以抛硬币的形式让小B明白他是一个彻彻底底的非洲人，从而对这个游戏绝望。两个人同时抛b次硬币，如果小A的正面朝上的次数大于小B正面朝上的次数，则小A获胜。但事实上，小A也曾经沉迷过拉拉游戏，而且他一次UR也没有抽到过，所以他对于自己的运气也没有太大把握。所以他决定在小B没注意的时候作弊，悄悄地多抛几次硬币，当然，为了不让小B怀疑，他不会抛太多次。现在小A想问你，在多少种可能的情况下，他能够胜过小B呢？由于答案可能太大，所以你只需要输出答案在十进制表示下的最后k位即可。

Input
有多组数据，对于每组数据输入三个数a,b,k，分别代表小A抛硬币的次数，小B抛硬币的次
数，以及最终答案保留多少位整数。
(1leqslant a,bleqslant 10^{15},bleqslant aleqslant b+10^4,1leqslant kleqslant 9)，数据组数小于等于10。

Output
对于每组数据，输出一个数，表示最终答案的最后k位为多少，若不足k位以0补全。

Sample Input
2 1 9

Sample Output
000000004
6
3 2 1

---

题目要求

[sumlimits_{i=0}^binom{b}{i}sumlimits_{j=i+1}^ainom{a}{j} ]

暴力可以过30pts，后缀和优化一下，可以拿到70pts(考场上拿了70分就赶快想其他题去)

怎么拿到满分嘞？我们来推柿子

[egin{align}Ans&=sumlimits_{i=0}^binom{b}{i}sumlimits_{j=i+1}^ainom{a}{j} onumber\&=sumlimits_{i=0}^binom{b}{i}(2^a-sumlimits_{j=0}^iinom{a}{j}) onumber\&=2^{a+b}-sumlimits_{i=0}^bsumlimits_{j=0}^iinom{b}{i}inom{a}{j} onumberend{align} ]

我们令(i+j=k)，那么后面那部分的式子变为

[egin{align}sumlimits_{i=0}^bsumlimits_{j=0}^iinom{b}{i}inom{a}{j}&=sumlimits_{i=0}^bsumlimits_{k=i}^{2i}inom{b}{i}inom{a}{k-i} onumber\&=sumlimits_{k=0}^{b}sumlimits_{i=0}^kinom{b}{i}inom{a}{k-i} onumberend{align} ]

(sumlimits_{i=0}^kinom{b}{i}inom{a}{k-i})相当于枚举(k)中的部分在(a)中或在(b)中，所以(sumlimits_{i=0}^kinom{b}{i}inom{a}{k-i}=inom{a+b}{k})

所以原式可以变成

[Ans=2^{a+b}-sumlimits_{k=0}^{b}inom{a+b}{k} ]

然后就可以暴力枚举了……还是70pts啊喂，难道优化没啥用？

肯定有用的！我们考虑一下数据中还有一个条件没有用上：(b-aleqslant 10^4)

我们将杨辉三角第(a+b)行的前(b)个元素标记一下，由于对称，所以我们把后(b)个元素也标记一下，可以发现，没有标记的元素至多只有(2(a-b))个！

我们可以(O(a-b))减去中间那部分，然后除2即可，所以答案为

[egin{align}Ans&=2^{a+b}-dfrac{2^{a+b}-sumlimits_{i=b+1}^{a+1}inom{a+b}{i}}{2} onumber\&=2^{a+b-1}+dfrac{sumlimits_{i=b+1}^{a+1}inom{a+b}{i}}{2} onumberend{align} ]

做完了吗？并没有，2在(10^x)下没有逆元……所以这个方法不可行

考虑一下(sumlimits_{i=b+1}^{a+1}inom{a+b}{i})这部分也是有对称的！除了(a+b)为偶数时……会单出来一个(inom{a+b}{(a+b)/2})

但其实，(inom{a+b}{(a+b)/2)}=inom{a+b-1}{(a+b)/2-1}+inom{a+b-1}{(a+b)/2})，我们可以发现，(inom{a+b-1}{(a+b)/2-1}=inom{a+b-1}{(a+b)/2})

所以(dfrac{inom{a+b}{(a+b)/2}}{2}=inom{a+b-1}{(a+b)/2-1}=inom{a+b-1}{(a+b)/2})

那么最终答案为

[Ans=2^{a+b-1}+sumlimits_{i=b+1}^{lfloor(a+b-1)/2 floor}inom{a+b}{i}+inom{a+b-1}{(a+b)/2}[(a+b)\%2=0] ]

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define it iterator
#define vt value_type
#define inf 0x7f7f7f7f
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template<typename T>inline T frd(T x){
	int f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')    f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
template<typename T>inline T read(T x){
	int f=1;char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)    putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
template<typename T>inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T>inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
template<typename T>inline T swap(T &x,T &y){T t=x; x=y,y=t;}
const int N=2e6;
namespace Math{
	int P[3],V[3],C[3],f[3][N+10],SP;
	int mlt(int a,ll b,int p=inf){
		int res=1;
		for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p)	if (b&1)	res=1ll*res*a%p;
		return res;
	}
	void prepare(int p){
		P[1]=2,V[1]=f[1][0]=1,C[1]=0;
		while (p%2==0)	V[1]<<=1,p>>=1,C[1]++;
		for (int i=1;i<=V[1];i++)	f[1][i]=1ll*f[1][i-1]*(i%2?i:1)%V[1];
			
		P[2]=5,V[2]=f[2][0]=1,C[2]=0;
		while (p%5==0)	V[2]*=5,p/=5,C[2]++;
		for (int i=1;i<=V[2];i++)	f[2][i]=1ll*f[2][i-1]*(i%5?i:1)%V[2];
		
		SP=V[1]*V[2];
	}
	int gcd(int a,int b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
	void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
		if (!b){x=1,y=0;return;}
		exgcd(b,a%b,x,y);
		int t=x; x=y,y=t-a/b*y;
	}
	int Ex_GCD(int a,int b,int c){
		int d=gcd(a,b),x,y;
		if (c%d)	return -1;
		a/=d,b/=d,c/=d;
		exgcd(a,b,x,y);
		x=(1ll*x*c%b+b)%b;
		return x;
	}
	int work(ll n,int i){
		if (n<=1)	return 1;
		int res=1ll*mlt(f[i][V[i]],n/V[i],V[i])*f[i][n%V[i]]%V[i];
		return 1ll*res*work(n/P[i],i)%V[i];
	}
	ll count(ll n,int i){return n<P[i]?0:count(n/P[i],i)+n/P[i];}
	int calc(ll n,ll m,int i){
		ll cnt=count(n,i)-count(m,i)-count(n-m,i);
		if (C[i]<=cnt)	return 0;
		return 1ll*work(n,i)*Ex_GCD(work(m,i),V[i],1)%V[i]*Ex_GCD(work(n-m,i),V[i],1)%V[i]*mlt(P[i],cnt)%V[i];
	}
	int Ex_C(ll n,ll m){
		if (n<m)	return 0;
		int Ans=0;
		Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[1],V[1],1)*(SP/V[1])%SP*calc(n,m,1)%SP)%SP;
		Ans=(Ans+1ll*Ex_GCD(SP/V[2],V[2],1)*(SP/V[2])%SP*calc(n,m,2)%SP)%SP;
		return Ans;
	}
}
using namespace Math;
int main(){
	ll a,b; int p,last=0;
	while (~scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&p)){
		p=mlt(10,p); int Ans=0;
		if (p!=last)	prepare(last=p);
		if (a==b){
			Ans=mlt(2,a+b-1,p)-Ex_C(a+b-1,a-1);
			Ans=(Ans%p+p)%p;
			while (Ans<p/10)	putchar('0'),p/=10;
			printf("%d
",Ans);
			continue;
		}
		if ((a+b)%2==0)	Ans=Ex_C(a+b-1,((a+b)>>1)-1);
		for (ll i=b+1;i<(a+b+1)>>1;i++)	Ans=(Ex_C(a+b,i)+Ans)%p;
		Ans=mlt(2,a+b-1,p)+Ans;
		Ans=(Ans%p+p)%p;
		while (Ans<p/10)	putchar('0'),p/=10;
		printf("%d
",Ans);
	}
	return 0;
}