以下为拓展：
威佐夫博弈
给你两堆石子，每次可以从一堆中去任意多的石子，也可以同时从两堆中取相同数量任意多的石子，不能不取。最后一次取完的玩家获胜。
我们先观察前几个先手必败的局势来寻找规律：
[(0,0)\(1,2)\(3,5)\(4,7)\(6,10)\cdots
]
我们发现，第 (i) 个先手必败局势，两堆石子的差是 (i)，且第一堆石子的数量为之前没有出现过的最小自然数，证明如下：
已知 (i=0) 时条件显然满足。设当前 (i=k)。也就是说已知 ((x,x+k)) 是先手必败局面，现在我们要证明下一个先手必败局面是 ((mex,mex+k+1))（其中 (mex) 表示当前没有出现过的最小自然数）。我们进行分类讨论：
- 若当前有一堆石子数小于 (mex)，那么先手必然可以找到一个后继局面，使得这个后继局面是(N) 态，所以这种情况下是 (P) 态。
- 若当前状态为 ((mex+a,mex+a+k+1))，则先手必然将此局面转换为 ((mex,mex+k+1))（这是 (N) 态），所以这种情况也是 (P) 态。
- 由以上两点可知，当前状态为 (N) 态当且仅当 ((mex,mex+k+1))。证毕。
结论：威佐夫博弈的第 (i) 个 (N) 态为 ((p,p+i))（其中 (p=lfloor i imesfrac{sqrt{5}+1}{2} floor)）。
证明：
先给出 (beatty) 定理：已知 (a,b) 为两个正无理数，(frac{1}{a}+frac{1}{b}=1) 当且仅当 (P={x|x=lfloor na floor,nin N^*} Q={x|x=lfloor nb floor,nin N^*}) ，满足 (Pcup Q=N^*,Pcap Q=varnothing)。
然后我们设第 (i) 个 (N) 态局面为 ((lfloor ai floor,lfloor (a+1)i floor))。根据前面的证明我们很容易知道这些数不重不漏的覆盖了所有正整数，所以由 (beatty) 定理知：
[frac{1}{a}+frac{1}{a+1}=1
]
解得：
[a_1=frac{sqrt5 +1}{2},a_2=frac{sqrt5 -1}2
]
显然 (a>1)，所以 (a=frac{sqrt5 +1}{2})，证毕。