插入排序与循环不变式

首先，给出本文要使用的例子，对一个数组a进行升序的插入排序

算法的C语言描述

void inserSort(int a[], int length)
{
        int i = 1;
        for(i = 1; i < length; i++)
        {
                int key = a[i];
                int j = i-1;
                for (j = i-1; j>=0 && a[j]>key; j--)
                {
                        a[j+1] = a[j];
                }
                a[j+1] = key;

        }
}<strong>
</strong>

什么是循环不变式

循环不变式是用于检验算法的正确性的。

在算法中，有一些特定的性质（也是我们我们实现这个算法最关注的性质），它在循环迭代中是稳定不变的。

如插入排序算法中，有循环不变式：当我们要第i个元素前，a[0,...,i-1]是有序的。

循环不变式有三个性质：

初始化： 第一次迭代前，循环不变式为真。如前面的代码中，i=1时，循环不变式为真（因为i前面a[0]一个元素，可以视为有序）

保持：     第n次迭代之前，为真，那么在第n+1次迭代之前也一定为真。在插入a[i]时，a[i]只是找寻特定的位置插入，没有破坏原来的不变式，

且a[i]插入后, 在下一次迭代之前（此时i已经自加），a[0,...,i-1]仍然有序。   类似数学归纳。

终止： 循环终止时，我们会得到一个有用的性质，该性质有助于验证算法正确性。（循环不变式的终止时循环不变式里最重要的一节），实际上，我们在循环终止时，也没有破坏循环不变式的稳定性。