红黑树的介绍
红黑树(Red-Black Tree,简称R-B Tree),它一种特殊的二叉查找树。
红黑树是特殊的二叉查找树,意味着它满足二叉查找树的特征:任意一个节点所包含的键值,大于等于左孩子的键值,小于等于右孩子的键值。
除了具备该特性之外,红黑树还包括许多额外的信息。红黑树的每个节点上都有存储位表示节点的颜色,颜色是红(Red)或黑(Black)。
红黑树一棵在每个结点上增加了一个存储位来表示结点颜色(红色RED或黑色BLACK)的二叉搜索树。
二叉搜索树简单的说就是:对树中任何结点x,其左子树中的关键字最大不超过x.key,即对左子树中任一结点y,有y.key<x.key;其右子树中的关键字最小不低于x.key,即对右子树中任一结点y,有y.key>x.key。
红黑树中每个结点包含5个属性:color、key、left、right和p。如果一个结点没有子结点或父结点,则该结点相应属性值为NIL。如图1所示:
图1 红黑树的叶结点
这些NIL被视为指向二叉搜索树的叶结点(外部结点)的指针,而把带关键字的结点视为树的内部结点。
为了便于处理红黑树代码中的边界条件,使用一个哨兵T.nil来代表所有的NIL:所有的叶结点和根结点的父结点。如图2所示:
图2 红黑树的T.nil属性
红黑树的特性:
(1) 每个节点或者是黑色,或者是红色。
(2) 根节点是黑色。
(3) 每个叶子节点是黑色(为空的结点)。
(4) 不能出现两个连续的红色结点(如果一个节点是红色的,那么它的两个子节点都是黑色的)。
(5) 从一个节点开始所有路径上包含相同数目的黑节点。
关于它的特性,需要注意的是:
第一,特性(3)中的叶子节点,是只为空(NIL或null)的节点。
第二,特性(5),确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍。因而,红黑树是相对是接近平衡的二叉树。
从红黑树中任一结点x出发(不包括结点x),到达一个外部结点的任一路径上的黑结点个数叫做结点x的黑高度,亦称为结点的阶(rank),记作bh(x)。红黑树的黑高度定义为其根结点的黑高度。下图,数字表示该结点的黑高度。
红黑树的搜索
红黑树的插入
(2)u是pu的右子女,pu是gu的左子女。在这种情况下对pu做先左后右的双旋转,再交换u与gu的颜色,就可恢复红黑树的特性,结束重新平衡过程。
红黑树的删除
②若结点t为黑色结点,以v为旋转轴,做一次右单旋转,并改变υ和r的颜色,即可消除结点u的双重黑色,恢复红黑树的特色。
>当结点u是结点g的左子女的情况与上面讨论的情况是镜像的,只要左、右指针互换就可以了。
红黑树的实现代码
1 typedef enum { RED = 0, BLACK } Color; 2 //红黑树结点类型 3 template <typename Type> 4 struct RBTNode 5 { 6 Color color; //颜色 7 Type key; //关键字 8 RBTNode* left; //左孩子 9 RBTNode* right; //右孩子 10 RBTNode* parent; //父结点 11 }; 12 13 //红黑树类型 14 template<typename Type> 15 class RBTree 16 { 17 public: 18 //构造函数 19 RBTree() 20 { 21 Nil = BuyNode(); 22 root = Nil; 23 Nil->color = BLACK; 24 } 25 //析构函数 26 ~RBTree() 27 { 28 destroy(root); //销毁创建的非Nil结点 29 delete Nil; //最后删除Nil结点 30 Nil = NULL; 31 } 32 33 //中序遍历 34 void InOrder() { InOrder(root); } 35 36 //插入 37 //1.BST方式插入 38 //2.调整平衡 39 bool Insert(const Type &value) 40 { 41 RBTNode<Type>* pr = Nil; //pr用来记住父节点 42 RBTNode<Type>* s = root; //定义变量s指向根 43 while (s != Nil) 44 { 45 if (value == s->key) 46 { 47 return false; 48 } 49 pr = s; //每次记住s的父节点 50 if (value < s->key) 51 { 52 s = s->left; 53 } 54 else 55 { 56 s = s->right; 57 } 58 } 59 //循环后s==Nil 60 s = BuyNode(value); //申请结点 61 if (pr == Nil) //如果父节点pr是根节点,第一次root指向Nil,所以pr==Nil 62 { 63 root = s; 64 root->parent = pr; 65 } 66 else //如果父节点不是根节点 67 { 68 if (value < pr->key) 69 { 70 pr->left = s; 71 } 72 else 73 { 74 pr->right = s; 75 } 76 s->parent = pr; //设置新结点s的父节点 77 } 78 //调整平衡 79 Insert_Fixup(s); 80 return true; 81 } 82 83 //删除key结点(先查找,再调用内部删除) 84 void Remove(Type key) 85 { 86 RBTNode<Type>* t; 87 if ((t = Search(root, key)) != Nil) 88 { 89 Remove(t); 90 } 91 else 92 { 93 cout << "Key is not exist." << endl; 94 } 95 } 96 97 //中序遍历打印结点详细的结点颜色 98 void InOrderPrint() { InOrderPrint(root); } 99 100 protected: 101 //申请结点结点,将结点的颜色初始化为红色,初始化结点的关键字,其他的初始化为空 102 RBTNode<Type>* BuyNode(const Type &x = Type()) 103 { 104 RBTNode<Type>* s = new RBTNode<Type>(); 105 assert(s != NULL); 106 s->color = RED; 107 s->left = s->right = s->parent = Nil; 108 s->key = x; 109 return s; 110 } 111 112 //中序遍历 113 void InOrder(RBTNode<Type>* root) 114 { 115 if (root != Nil) 116 { 117 InOrder(root->left); 118 cout << root->key << " "; 119 InOrder(root->right); 120 } 121 } 122 123 //左转,对z结点左转 124 // zp zp 125 // / 126 // z z 127 // / / 128 // lz y lz y 129 // / / 130 // ly ry ly ry 131 void LeftRotate(RBTNode<Type>* z) 132 { 133 RBTNode<Type>* y = z->right; //用y指向要转动的z结点 134 z->right = y->left; 135 if (y->left != Nil) //y所指结点的左结点不为空 136 { 137 y->left->parent = z; 138 } 139 y->parent = z->parent; 140 if (root == z) //z就是根节点 141 { 142 root = y; 143 } 144 else if (z == z->parent->left) //z在左结点 145 { 146 z->parent->left = y; 147 } 148 else //z在右结点 149 { 150 z->parent->right = y; 151 } 152 y->left = z; 153 z->parent = y; 154 } 155 156 //右转,对z结点进行右转 157 // zp zp 158 // / 159 // z z 160 // / / 161 // y rz y rz 162 // / / 163 // ly ry ly ry 164 void RightRotate(RBTNode<Type>* z) 165 { 166 RBTNode<Type>* y = z->left; 167 z->left = y->right; 168 if (y->right != Nil) 169 { 170 y->right->parent = z; 171 } 172 y->parent = z->parent; 173 if (root == z) //如果z是根结点 174 { 175 root = y; 176 } 177 else if (z == z->parent->left) //z在左结点 178 { 179 z->parent->left = y; 180 } 181 else //z在右结点 182 { 183 z->parent->right = y; 184 } 185 y->right = z; 186 z->parent = y; 187 } 188 189 //插入后的调整函数 190 void Insert_Fixup(RBTNode<Type>* s) 191 { 192 RBTNode<Type>* uncle; //叔结点(父结点的兄弟结点) 193 while (s->parent->color == RED) //父节点的颜色也为红色 194 { 195 if (s->parent == s->parent->parent->left) //父节点是左结点 196 { 197 uncle = s->parent->parent->right; 198 199 if (uncle->color == RED) //叔结点为红色 200 { 201 //父节点和叔结点都变为黑色 202 s->parent->color = BLACK; 203 uncle->color = BLACK; 204 //祖父结点变为红色 205 s->parent->parent->color = RED; 206 //将s指针指向祖父结点,下一次循环继续判断祖父的父节点是否为红色 207 s = s->parent->parent; 208 } 209 else //没有叔结点,或叔结点为黑色(经过多次循环转换,叔结点可能为黑) 210 { 211 if (s == s->parent->right) //如果调整的结点在右结点 212 { 213 s = s->parent; //先将s指向s的父结点 214 LeftRotate(s); //再左转 215 } 216 //如果调整的结点在左结点,将s的父节点变为黑色,将祖父的结点变为红色,将s的祖父结点右转 217 s->parent->color = BLACK; 218 s->parent->parent->color = RED; 219 RightRotate(s->parent->parent); 220 } 221 } 222 else 223 { 224 if (s->parent == s->parent->parent->right) //父节点是右结点 225 { 226 uncle = s->parent->parent->left; 227 if (uncle->color == RED) //叔结点为红色 228 { 229 //父节点和叔结点都变为黑色 230 s->parent->color = BLACK; 231 uncle->color = BLACK; 232 //祖父结点变为红色 233 s->parent->parent->color = RED; 234 //将s指针指向祖父结点,下一次循环继续判断祖父的父节点是否为红色 235 s = s->parent->parent; 236 } 237 else //没有叔结点,或叔结点为黑色(经过多次循环转换,叔结点可能为黑) 238 { 239 if (s == s->parent->left) //如果调整的结点在左结点 240 { 241 s = s->parent; //先将s指向s的父结点 242 RightRotate(s); //再右转 243 } 244 //如果调整的结点在右结点,将s的父节点变为黑色,将祖父的结点变为红色,将s的祖父结点右转 245 s->parent->color = BLACK; 246 s->parent->parent->color = RED; 247 LeftRotate(s->parent->parent); 248 } 249 } 250 } 251 } 252 root->color = BLACK; //最后始终将根节点置为黑色 253 } 254 255 //查找key结点 256 RBTNode<Type>* Search(RBTNode<Type>* root, Type key) const 257 { 258 if (root == Nil) //root为空,或key和根的key相同 259 { 260 return Nil; 261 } 262 263 if (root->key == key) 264 { 265 return root; 266 } 267 if (key<root->key) 268 { 269 return Search(root->left, key); 270 } 271 else 272 { 273 return Search(root->right, key); 274 } 275 } 276 277 //将u的子节点指针指向u改变指向v,将v的父节点改变为指向u的父节点 278 // up 279 // 280 // u 281 // / 282 // ul ur 283 // / 284 // v ulr 285 // 286 // rv 287 void Transplant(RBTNode<Type>* u, RBTNode<Type>* v) 288 { 289 if (u->parent == Nil) //u的父节点为空 290 { 291 root = v; //直接令根root为v 292 } 293 else if (u == u->parent->left) //u父节点不为空,且u在左子树 294 { 295 u->parent->left = v; 296 } 297 else //u在左子树 298 { 299 u->parent->right = v; 300 } 301 v->parent = u->parent; 302 } 303 304 //找到最左结点(最小) 305 // xp 306 // 307 // x 308 // / 309 // xl xr 310 // / 311 // xll xlr 312 313 RBTNode<Type>* Minimum(RBTNode<Type>* x) 314 { 315 if (x->left == Nil) 316 { 317 return x; 318 } 319 return Minimum(x->left); 320 } 321 322 //删除红黑树结点z 323 void Remove(RBTNode<Type>* z) 324 { 325 RBTNode<Type>* x = Nil; 326 RBTNode<Type>* y = z; //y记住传进来的z结点 327 Color ycolor = y->color; // 328 if (z->left == Nil) //z只有右孩子 329 { 330 x = z->right; 331 Transplant(z, z->right); 332 } 333 else if (z->right == Nil) //z只有右孩子 334 { 335 x = z->left; 336 Transplant(z, z->left); 337 } 338 else //右左孩子和右孩子 339 { 340 y = Minimum(z->right); //y是z右子树的的最左子树 341 ycolor = y->color; 342 x = y->right; 343 if (y->parent == z) //z的右子结点没有左节点或为Nil 344 { 345 x->parent = y; 346 } 347 else //z的右子结点有左节点或为Nil 348 { 349 Transplant(y, y->right); 350 y->right = z->right; 351 y->right->parent = y; 352 } 353 Transplant(z, y); 354 //改变指向 355 y->left = z->left; 356 z->left->parent = y; 357 y->color = z->color; 358 } 359 if (ycolor == BLACK) 360 { 361 Remove_Fixup(x); 362 } 363 } 364 365 //红黑树删除调整 366 void Remove_Fixup(RBTNode<Type>* x) 367 { 368 while (x != root&&x->color == BLACK) //当结点x不为根并且它的颜色不是黑色 369 { 370 if (x == x->parent->left) //x在左子树 371 { 372 RBTNode<Type>* w = x->parent->right; //w是x的兄结点 373 374 if (w->color == RED) //情况1 375 { 376 w->color = BLACK; 377 x->parent->color = RED; 378 LeftRotate(x->parent); 379 w = x->parent->right; 380 } 381 if (w->left->color == BLACK&&w->right->color == BLACK) //情况2 382 { 383 w->color = RED; 384 x = x->parent; 385 } 386 else 387 { 388 if (w->right->color == BLACK) //情况3 389 { 390 w->color = RED; 391 w->left->color = BLACK; 392 RightRotate(w); 393 w = x->parent->right; 394 } 395 //情况4 396 w->color = w->parent->color; 397 w->parent->color = BLACK; 398 w->right->color = BLACK; 399 LeftRotate(x->parent); 400 x = root; //结束循环 401 402 } 403 } 404 else //x在右子树 405 { 406 RBTNode<Type>* w = x->parent->left; 407 if (w->color == RED) //情况1 408 { 409 w->parent->color = RED; 410 w->color = BLACK; 411 RightRotate(x->parent); 412 w = x->parent->left; 413 } 414 if (w->right->color == BLACK&&w->right->color == BLACK) //情况2 415 { 416 w->color = RED; 417 x = x->parent; 418 } 419 else 420 { 421 if (w->left->color == BLACK) //情况3 422 { 423 w->right->color = BLACK; 424 w->color = RED; 425 LeftRotate(w); 426 w = x->parent->left; 427 } 428 //情况4 429 w->color = x->parent->color; 430 x->parent->color = BLACK; 431 w->left->color = BLACK; 432 RightRotate(x->parent); 433 x = root; //结束循环 434 } 435 } 436 } 437 x->color = BLACK; 438 } 439 440 //销毁红黑树 441 void destroy(RBTNode<Type>* &root) 442 { 443 if (root == Nil) 444 { 445 return; 446 } 447 if (root->left != Nil) 448 { 449 destroy(root->left); 450 } 451 if (root->right != Nil) 452 { 453 destroy(root->right); 454 } 455 delete root; 456 root = NULL; 457 } 458 459 //中序遍历打印结点详细的结点颜色 460 void InOrderPrint(RBTNode<Type>* node) 461 { 462 if (node == Nil) 463 { 464 return; 465 } 466 if (node->left != NULL) 467 { 468 InOrderPrint(node->left); 469 } 470 cout << node->key << "(" << ((node->color == BLACK) ? "BLACK" : "RED") << ")" << " "; 471 if (node->right != Nil) 472 { 473 InOrderPrint(node->right); 474 } 475 } 476 477 private: 478 RBTNode<Type>* root; //根指针 479 RBTNode<Type>* Nil; //外部结点,表示空结点,黑色的 480 };
测试代码
1 int main(int argc, char* argv[]) 2 { 3 RBTree<int> rb; 4 // rb.InitTree(); 5 int arr[] = { 10,7,8,15,5,6,11,13,12 }; 6 int n = sizeof(arr) / sizeof(int); 7 for (int i = 0; i < n; i++) 8 { 9 rb.Insert(arr[i]); 10 } 11 12 rb.InOrder(); 13 cout << endl; 14 rb.InOrderPrint(); 15 cout << endl; 16 rb.Remove(10); 17 rb.InOrder(); 18 cout << endl; 19 rb.Remove(21); 20 return 0; 21 }