多重背包

说在前面：

这篇文章是转载的，因为自己感觉也描述的不是很好。

然后呢，如果想要了解多重背包，可以结合下面三篇博文：

http://www.cnblogs.com/favourmeng/archive/2012/09/07/2675580.html  二进制描述的很好

http://blog.csdn.net/passion_acmer/article/details/52212443   代码很清晰，是最好理解的一篇

http://www.ahathinking.com/archives/109.html     本文，讲的很详细，但有个位运算符号错了，我已经改正了

 

前面已经回顾了01背包和完全背包，本节回顾多重背包的几种实现形式，主要有以下几方面内容：

==多重背包问题定义 & 基本实现

==多重背包二进制拆分实现

==防火防盗防健忘

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多重背包问题定义 & 基本实现

问题：有个容量为V大小的背包，有很多不同重量weight[i](i=1..n)不同价值value[i](i=1..n)的货物，第i种物品最多有n[i]件可用，计算一下最多能放多少价值的货物。

对于多重背包的基本实现，与完全背包是基本一样的，不同就在于物品的个数上界不再是v/c[i]而是n[i]与v/c[i]中较小的那个。状态转移方程如下

1	f(i,v) = max{ f(i-1,v-k*c[i]) + k*w[i] | 0<=k<=n[i] }

代码与完全背包的区别仅在内部循环上由

1	for(k = 1; k <= j/weight[i]; ++k)

变为

1	for(k = 1; k <=n[i] && k<=j/weight[i]; ++k)

当然，输入上的区别就不说了。

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二进制思想

问题描述：

　　假设有1000个苹果，现在要取n个苹果，如何取？正常的做法应该是将苹果一个一个拿出来，直到n个苹果被取出来。

　　又假设有1000个苹果和10只箱子，如何快速的取出n个苹果呢？可以在每个箱子中放 2^i (i<=0<=n)个苹果，也就是 1、2、4、8、16、32、64、128、256、489（最后的余数），相当于把十进制的数用二进制来表示，取任意n个苹果时，只要推出几只箱子就可以了。

多重背包二进制拆分实现：

跟完全背包一样的道理，利用二进制的思想将n[i]件物品i拆分成若干件物品，目的是在0-n[i]中的任何数字都能用这若干件物品代换，另外，超过n[i]件的策略是不允许的。

方法是将物品i分成若干件，其中每一件物品都有一个系数，这件物品的费用和价值都是原来的费用和价值乘以这个系数，使得这些系数分别为1,2,4,…,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，n[i]=13，就将该物品拆成系数为1、2、4、6的四件物品。分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示。

代码如下：测试用例见代码末的注释

#include <iostream>
using namespace std;
 
/* 多重背包 二进制拆分
 * Time Complexity  大于O(N*V)
 * Space Complexity O(N*V)
 * 设 V <= 200 N <= 10 ，拆分后 物品总数 < 50
 * 每件物品有 log n[i]种状态
 */
 
int maxV[201];
int weight[50]; /* 记录拆分后物体重量 */
int value[50];  /* 记录拆分后物体价值 */
int V, N;
 
void main()
{
    int i, j;
    scanf("%d %d",&V, &N);
    int weig, val, num;
    int count = 0;
 
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d",&weig,&val,&num);
 
        for(j = 1; j <= num; j <<= 1) // 二进制拆分 位运算
        {
            weight[count] = j * weig;
            value[count++] = j * val;
            num -= j;
        }
        if(num > 0)
        {
            weight[count] = num * weig;
            value[count++] = num * val;
        }
    }
    for(i = 0; i < count; ++i)  // 使用01背包
    {
        for(j = V; j >= weight[i]; --j)
        {
            int tmp = maxV[j-weight[i]] + value[i];
            maxV[j] = maxV[j] > tmp ? maxV[j] : tmp;
        }
    }
    printf("%d",maxV[V]);
}
 
/*
    【输入样例】
    4 20
    3     9     3
    5     9     1
    9     4     2
    8     1     3
    【输出样例】
    47
*/

简单背包基础总结：

回顾了3种简单背包后，有些思想慢慢体会，实践中，对于01背包和完全背包使用一维数组实现是最简便高效的，对于多重背包，最好就是输入时进行二进制拆分，然后使用01背包，这样比基本实现和在运算时再进行拆分要简捷的多。

防火防盗防健忘：

没事水一下：POJ  PKU：

01背包： 3211、3624、3628

完全背包：1252、1384、2063

多重背包：1014、1276、1742、2392、3260（完全+多重）

本文相关代码可以到这里下载。

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（全文完）