一、经典汉诺塔
题意
有三根柱子 A,B,C，柱子 A 上放着 n 个大小不同的盘子，从上往下，盘子大小依次增大。要把所有盘子都移到柱子B上，且移动的过程中，同一根柱子不能出现大盘子在小盘子上方的情况，问至少需要多少次移动。
分析
设 F[n] 为将 n 个盘子从柱子A移动到柱子B的最少移动次数。
当 n = 1 时，F[n] = 1
当 n > 1 时，分三步
①将柱子A上的 n - 1 个盘子，依靠柱子B，移动到柱子C上，这个过程至少需要 F[n - 1]步
②将柱子A上最大的那个盘子放到柱子B上，需要 1 步
③将柱子C上的 n - 1 个盘子，依靠柱子A，移动到柱子B上，这个过程至少需要 F[n - 1]步
所以移动完 n 个盘子，至少需要的步数 F[n] = 2 * F[n - 1] + 1；
其中 F[1] = 1，那么就有 F[n] = 2^n - 1；
二、HDU 1207 汉诺塔Ⅱ （传送门）
题意
有四根柱子 A,B,C，D，柱子 A 上放着 n 个大小不同的盘子，从上往下，盘子大小依次增大。要把所有盘子都移到柱子B上，且移动的过程中，同一根柱子不能出现大盘子在小盘子上方的情况，问至少需要多少次移动。（1 <= n <= 64）
分析
设 F[n] 为将 n 个盘子从柱子A移动到柱子B的最少移动次数。
当 n = 1 时，F[n] = 1；
当 n = 2 时，F[n] = 3；
当 n > 2 时，分三步
①将柱子A上的 x (1 <= x < n) 个盘子，依靠柱子B,C移动到柱子D上，这个过程至少需要 F[x] 步
②将柱子A上剩下的 n - x 个盘子，依靠柱子C移动到柱子B上，这个过程相当于经典汉诺塔问题，则需要 2^(n-x) - 1 步
③将柱子D上的 x 个盘子，依靠柱子A,C移动到柱子B上，这个过程至少需要 F[x] 步。
那我们可以枚举这个 x，对所有可能的答案取最小值
当 n = 64 时，x = 0 时，2^64 就很大了，会爆 long long，所以我特判掉了这种情况
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define UI unsigned int #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++) #define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--) #define pb push_back #define make make_pair #define INF 0x3f3f3f3f #define inf LLONG_MAX #define PI acos(-1) #define fir first #define sec second #define lb(x) ((x)h & (-(x))) #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl; using namespace std; const int N = 1e6 + 5; const LL mod = 1e9 + 7; LL ksm(LL a, LL b) { LL res = 1LL; while(b) { if(b & 1) res = res * a; a = a * a; b >>= 1; } return res; } LL f[N]; void solve() { f[1] = 1; f[2] = 3; rep(i, 3, 64) { f[i] = inf; rep(j, 0, i - 1) { if(i - j >= 63) continue; f[i] = min(f[i], 2 * f[j] + ksm(2, i - j) - 1); } } int n; while(~scanf("%d", &n)) printf("%lld ", f[n]); } int main() { // int _; scanf("%d", &_); // while(_--) solve(); solve(); return 0; }
三、HDU 1995 汉诺塔Ⅴ（传送门）
题意
有三根柱子 A,B,C，柱子 A 上放着 n 个大小不同的盘子，从上往下，盘子大小依次增大，我们将其依次编号为 1 2 ...... n，即编号越大，大小越大。要把所有盘子都移到柱子B上，且移动的过程中，同一根柱子不能出现大盘子在小盘子上方的情况，问按照最优的方式移动 n 个盘子，编号为 k 的盘子需要移动多少次。（1 <= n <= 60, 1 <= k <= n）
分析
画一画就能发现规律了，答案是 2^(n - k)；所有盘子需要移动 2^n - 1 次，2^n - 1 二进制形式就是 n 个 1，最大的那个盘子只需要移动 1 次，倒数第二个需要移动 2 次，倒数第 3 个需要移动 4 次........
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define UI unsigned int #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++) #define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--) #define pb push_back #define make make_pair #define INF 0x3f3f3f3f #define inf LLONG_MAX #define PI acos(-1) #define fir first #define sec second #define lb(x) ((x)h & (-(x))) #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl; using namespace std; const int N = 1e6 + 5; const LL mod = 1e9 + 7; LL ksm(LL a, LL b) { LL res = 1LL; while(b) { if(b & 1) res = res * a; a = a * a; b >>= 1; } return res; } void solve() { int n, k; while(~scanf("%d %d", &n, &k)) printf("%lld ", ksm(2, n - k)); } int main() { int _; scanf("%d", &_); while(_--) solve(); // solve(); return 0; }
四、HDU 1997 汉诺塔VII （传送门）
题意
这题是经典汉诺塔改版，问的是，将 n 个盘子（第 i 个盘子编号为 i，编号越大，盘子越大）从 a 移动到 c，按照步数最少策略移动，现在给你三个序列，分别代表柱子 a, b, c 上的盘子的编号，问你这三个序列是不是将 n 个盘子从 a 移动到 c 这个过程中的一种情况。
思路
这个题呢，可以用递归的方式去求解，要理解经典汉诺塔盘子是怎么移动的。
若要将 n 个盘子从 a 移动到 c，首先，先将 n - 1 个盘子，从 a 移动到 b，然后再将第 n 个，移动到 c 上。
这个过程中，第 n 个盘子只能出现在柱子 a 和 柱子 c 上，若出现在柱子 b 上，则不正确。
那就接着分类
若第 n 个盘子出现在 a 上，则表示第 n 个盘子还没有移动到 c，则这种情况就是，将 n - 1 个盘子，从柱子 a 移动到柱子 b 上。
若第 n 个盘子出现在 c 上，则表示第 n 个盘子已经移动到柱子 c 上了，这种情况就是将 n - 1 个盘子从 b 移动到 c 上。
就这样一直递归下去若全部盘子都满足条件，则是正确的。
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define UI unsigned int #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++) #define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--) #define pb push_back #define make make_pair #define INF 0x3f3f3f3f #define inf LLONG_MAX #define PI acos(-1) #define fir first #define sec second #define lb(x) ((x)h & (-(x))) #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl; using namespace std; const int N = 1e6 + 5; bool judge(int n, int a[], int c[], int b[]) { if(a[0] == n) return judge(n - 1, a + 1, b, c); else if(c[0] == n) return judge(n - 1, b, c + 1, a); else if(b[0] == n) return 0; else return 1; } int a[N], b[N], c[N]; void solve() { int n, m, p, q; scanf("%d", &n); scanf("%d", &m); rep(i, 0, m - 1) scanf("%d", &a[i]); scanf("%d", &p); rep(i, 0, p - 1) scanf("%d", &b[i]); scanf("%d", &q); rep(i, 0, q - 1) scanf("%d", &c[i]); a[m] = b[p] = c[q] = -1; if(judge(n, a, c, b)) puts("true"); else puts("false"); } int main() { int _; scanf("%d", &_); while(_--) solve(); // solve(); return 0; }
五、HDU 2064 汉诺塔III （传送门）
题意
经典汉诺塔问题再加一个条件：最左边柱子上的盘子不能直接移动到最右边的柱子，最右边柱子上的盘子也不能直接移动到最左边的柱子。问将 n 个盘子，从最左边的柱子 a，经过柱子 b，移动到最右边的柱子 c 上的最少移动步数。
思路
设 dp[n] 表示将 n 个盘子从 a 经过 b 移动到 c 的最少移动步数。
则，将 n 个盘子从 a 经过 b 移动到 c 上，可以分为几个过程：
1、将 n - 1 个盘子从 a 经 b 移动到 c 上，需要 f[n - 1]
2、将第 n 个盘子从 a 移动到 b 上，需要 1 步
3、将 n - 1 个盘子从 c 经 b 移动到 a 上，需要 f[n - 1]
4、将第 n 个盘子从 b 移动到 c 上，需要 1 步
5、将 n - 1 个盘子从 a 经 b 移动到 c，需要 f[n - 1]
则有
f[n] = 3 * f[n - 1] + 2
其中 f[1] = 2
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define UI unsigned int #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++) #define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--) #define pb push_back #define make make_pair #define INF 0x3f3f3f3f #define inf LLONG_MAX #define PI acos(-1) #define fir first #define sec second #define lb(x) ((x)h & (-(x))) #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl; using namespace std; const int N = 1e6 + 5; LL dp[N]; void solve() { dp[1] = 2; rep(i, 2, 35) dp[i] = 3LL * dp[i - 1] + 2LL; int n; while(~scanf("%d", &n)) printf("%lld ", dp[n]); } int main() { // int _; scanf("%d", &_); // while(_--) solve(); solve(); return 0; }
六、HDU 2077 汉诺塔IV （传送门）
题意
五、HDU 2064 汉诺塔III 的题意再加一个条件：允许最大的盘子在小的盘子上面。
思路
跟五、HDU 2064 汉诺塔III 的思路也类似：
将 n - 1 个盘子从 a 经过 c, 移动到 b 上，再将第 n 个盘子移动到 c 上，再将 n - 1 个盘子从 b 经过 a 移动到 c 上。
其中，将 n - 1 个盘子从 a 经过 c, 移动到 b 上 和 将 n - 1 个盘子从 b 经过 a 移动到 c 上 可以合并为 将 n - 1 个盘子从 a 经过 b 移动到 c 上（满足只能移动到相邻的柱子上）。
那么答案就是 dp[n - 1] + 2
其中 dp[1] = 2, dp[i] = 3 * dp[i - 1] + 2
#include <bits/stdc++.h> #define LL long long #define ULL unsigned long long #define UI unsigned int #define mem(i, j) memset(i, j, sizeof(i)) #define rep(i, j, k) for(int i = j; i <= k; i++) #define dep(i, j, k) for(int i = k; i >= j; i--) #define pb push_back #define make make_pair #define INF 0x3f3f3f3f #define inf LLONG_MAX #define PI acos(-1) #define fir first #define sec second #define lb(x) ((x)h & (-(x))) #define dbg(x) cout<<#x<<" = "<<x<<endl; using namespace std; const int N = 1e6 + 5; LL dp[N]; void solve() { int n; scanf("%d", &n); printf("%lld ", dp[n - 1] + 2LL); } int main() { dp[1] = 2; rep(i, 2, 35) dp[i] = 3LL * dp[i - 1] + 2LL; int _; scanf("%d", &_); while(_--) solve(); // solve(); return 0; }