2020.1.29
数论（二）
1.引入
一开头讲了整除，质数，合数，质因数分解，带余除法，两数同余等小学基础知识，不加赘述。
有关推论：
1.约数总是成对出现
若 k 是 n 的约数, 则 (n/k) 也是 n 的约数。 在一对约数中，必有一个不大于 √ n，另一个不小于 √ n。 因此枚举 1..√ n 就能求出 n 的所有约数。
2.整除的表示
a|b表示：b%a=0
3.同余的表示
a ≡ b(mod c) 与 c|(a − b) 等价，表示：a%c=b%c
2.最大公约数
gcd(a,b)=gcd(a,a+b)=gcd(a,ka+b)
gcd(ka,kb) = k·gcd(a,b)
gcd(a,b,c)=gcd(gcd(a,b),c)
3.欧几里得算法(辗转相除法)
a>=b的前提下
由gcd(a,b)=gcd(a,ka+b)推得：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)（k为a/b(整除)的相反数)
所以每次较大数都减少至少一半(取模运算，易证)
所以时间复杂度为O(log~2~n)
4.裴蜀定理
若d=gcd(a,b),则对任意整数x,y有d|(ax + by)成立(理所当然地成立)
且一定有x,y满足ax+by=d（18和24：gcd(18,24)=6,(-1)·18+(1)·24=6）
5.扩展欧几里得算法
给上面的裴蜀定理推论的方程 ax+by=d 求解
考虑使用欧几里德算法的思想
d=gcd(a,b),令a=bq+r，r=a%b
由欧几里得算法可知gcd(a,b)=gcd(b,r)，方程化为bx~0~+ry~0~=d
最终，将化为gcd(d,0)=gcd(a,b)=d，方程化为dx~n~+0y~n~=d
显然，x~n~=1,y~n~=任意数
考虑如何把x~n~,y~n~变形成 ax + by = d 的解。
将a=bq+r代入ax+by=d得 –> (bq+r)x+by=d –> bqx+rx+by=d –> b(xq+y)+rx=d
因为bx~0~+ry~0~=d，故：x~0~=xq+y，y~0~=x
整理求出解：x=y~0~，y=x~0~-y~0~q
边界条件 b=0时,x=1,y=0(本段第5行有交待)
代码实现
void kzojld(int a,int b,int $x,int $y) {//由于以后x，y要参与回溯，所以要传址调用
if(!(b)) {//边界：b=0时，x=1，y=0()
x=1;
y=0;
return;
}
int r=a%b;//记录模数
int q=a/b;//记录倍数
kzojld(b,r,y,x);//b,r的y变成a,b的x（x=y0）；b,r的x暂时作为a，b的y（y=x0-y0q,接下来还会进行处理）
y-=x*q;//此时y=x0，在这样的基础上减去q*y0（x=y0）
return;
}//不错，算是默写了（当然是看着上面的算法写的）
但是，怎样求出所有解呢？
先用扩展求出任意一个解 x~0~,y~0~
再求出ax+by=0的最小的解（x,y绝对值最小）
仍然是d=gcd(a,b)
这时设：d~x~=x= b/d，d~y~=y=−a/d （其实乘a或b以后，积的绝对值都是a,b的最小公倍数，必须一正一负，这样才能相加等于0）
原方程所有解就是,k取任意整数时的
x = x~0~ + kd~x~
y = y~0~+ kd~y~
所以x，y有无数组，利用这种方法可以求出第n小的解（绝对值）