Miller-Rabin质数测试
代码可参考我的个人库中的Miller_Rabin_Check_Prime
资料源：
Miller-Rabin素数测试算法——forever_dreams
hihoCoder #1287
正文：
非精确算法警告
作用
当我们需要判断素数时，如果朴素(O(sqrt{n}))算法不能通过，那么可以通过Miller-Rabin素数测试，来大概率地判断其是否为素数。
两个基础理论
（1）费马小定理：当 p 为质数，有 (a^{p-1}equiv 1(mod p)) ，不过反过来不一定成立，也就是说，如果 a , p 互质，且 (a^{p-1}equiv 1(mod p)) ，不能推出 p 是质数，比如(Carmichael)数（这个就自行百度吧）
（2）二次探测：如果 p 是一个素数，0 < x < p, 则方程 (x^{2}equiv 1(mod p)) 的解为 x = 1 或 x = p - 1
两个基本理论的证明
小Hi：这种质数算法是基于费马小定理的一个扩展，首先我们要知道什么是费马小定理：
费马小定理：对于质数p和任意整数a，有a^p ≡ a(mod p)(同余)。反之，若满足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率为质数。
将两边同时约去一个a，则有a^(p-1) ≡ 1(mod p)
也即是说：假设我们要测试n是否为质数。我们可以随机选取一个数a，然后计算a^(n-1) mod n，如果结果不为1，我们可以100%断定n不是质数。
否则我们再随机选取一个新的数a进行测试。如此反复多次，如果每次结果都是1，我们就假定n是质数。
该测试被称为Fermat测试。需要注意的是：Fermat测试不一定是准确的，有可能出现把合数误判为质数的情况。
Miller和Rabin在Fermat测试上，建立了Miller-Rabin质数测试算法。
与Fermat测试相比，增加了一个二次探测定理：
如果p是奇素数，则 x^2 ≡ 1(mod p)的解为 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)
如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，Miller-Rabin算法不是立即找另一个a进行测试，而是看n-1是不是偶数。如果n-1是偶数，另u=(n-1)/2，并检查是否满足二次探测定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。
举个Matrix67 Blog上的例子，假设n=341，我们选取的a=2。则第一次测试时，2^340 mod 341=1。由于340是偶数，因此我们检查2170，得到2170 mod 341=1，满足二次探测定理。同时由于170还是偶数，因此我们进一步检查2^85 mod 341=32。此时不满足二次探测定理，因此可以判定341不为质数。
将这两条定理合起来，也就是最常见的Miller-Rabin测试。
但一次MR测试仍然有一定的错误率。为了使我们的结果尽可能的正确，我们需要进行多次MR测试，这样可以把错误率降低。
写成伪代码为：
Miller-Rabin(n):
If (n <= 2) Then
If (n == 2) Then
Return True
End If
Return False
End If
If (n mod 2 == 0) Then
// n为非2的偶数，直接返回合数
Return False
End If
// 我们先找到的最小的a^u，再逐步扩大到a^(n-1)
u = n - 1; // u表示指数
while (u % 2 == 0)
u = u / 2
End While // 提取因子2
For i = 1 .. S // S为设定的测试次数
a = rand_Number(2, n - 1) // 随机获取一个2~n-1的数a
x = a^u % n
While (u < n)
// 依次次检查每一个相邻的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否满足二次探测定理
y = x^2 % n
If (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) // 二次探测定理
// 若y = x^2 ≡ 1(mod n)
// 但是 x != 1 且 x != n-1
Return False
End If
x = y
u = u * 2
End While
If (x != 1) Then // Fermat测试
Return False
End If
End For
Return True
值得一提的是，Miller-Rabin每次测试失误的概率是1/4；进行S次后，失误的概率是4^(-S)。
小Hi：那么小Ho，你能计算出这个算法的时间复杂度么？
小Ho：恩，每一次单独的MR测试，需要O(log n)的时间。一共要进行S次MR测试，也就是O(Slog n)。
小Hi：没错，这样就能够在很短的时间内完成质数的测试了。当然如果你还是不放心，可以把S的值设定的更高一点。
小Ho：好！这样就能够顺利的找到大质数了。
本题的提示参考了Matrix67的Blog和wikipedia的词条。
Matrix67的Blog有更多的细节描写。Wiki中的伪代码比上文中的简洁一些，并且有介绍了一些小技巧：比如如果n<2^64（n<1e18），只用选取a=2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37做测试即可