题解-洛谷P4859 已经没有什么好害怕的了

洛谷P4859 已经没有什么好害怕的了

给定 (n) 和 (k)，(n) 个糖果能量 (a_i) 和 (n) 个药片能量 (b_i)，每个 (a_i) 和 (b_i) 互不相等。将糖果和药片一一对应，求 糖果能量大于药片 比 药片能量大于糖果 多 (k) 组的方案数。

数据范围：(1le nle 2000)，(0le kle n)。

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萌新初学二项式反演，这是第一道完全自己做出来的题，所以写篇题解庆祝并提升理解。

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有 (frac{n+k}{2}) 组糖果能量大于药片，(frac{n-k}{2}) 组药片能量大于糖果。

如果 (n+k) 是奇数，直接答案为 (0) 特判掉。

(f(i)) 表示 (i) 组糖果能量大于药片，(n-i) 组药片能量大于糖果的方案数。

(g(i)) 表示 (i) 组糖果能量大于药片，(n-i) 组随意的方案数。

二项式反演必然有 (f(i)) 和 (g(i))，往往前者表示 (i) 个符合条件 (a) 剩下符合另条件 (b)，后者表示 (i) 个符合条件 (a) 剩下随意。

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先考虑 (g(i)) 怎么独立地求，蒟蒻想到了 ( t dp)。

将 (a_i) 和 (b_i) 排序，现在 (a_i<a_{i+1})，(b_i<b_{i+1})。

比如 (b_i<a_1<b_{i+1})，(b_j<a_2<b_{j+1}(i<j))。

所以 (a_1) 可以对应 (b_1sim b_i)，(a_2) 可以对应 (b_1sim b_j)。

因为 (a_1) 对于的 (b_x) 满足 (x<i<j)，所以必然占了一个 (a_2) 可以对应的位。

所以有 (i(j-1)) 种对应法。

设 (F_{i,j}) 表示看了 (a_1sim a_i)，对应了 (j) 组的方案数。

令 (p(i)) 表示 (b_{p(i)}<a_i<b_{p(i)+1})。

同理，所以 (F(0,0)=1)。

[F(i,j)=F(i-1,j)+F(i-1,j-1)cdot (p(i)-(j-1)) ]

[g(i)=F(n,i)cdot(n-i)! ]

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二项式反演来了：

[g(i)=sum_{x=i}^n{xchoose i}f(x) Longleftrightarrow f(i)=sum_{x=i}^n(-1)^{x-i}{xchoose i}g(x) ]

答案是 (f(frac{n+k}{2}))，带进去算就好了。

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时间复杂度 (Theta(n^2))，空间复杂度 (Theta(n^2))。

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• 代码

下标从 (0) 开始的...巨佬们琢磨琢磨吧。( t /kel)。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair(a,b)
#define x first
#define y second
#define be(a) a.begin()
#define en(a) a.end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int mod=1e9+9;

//Main
int main(){
	cin.tie(0);
	int n,k; cin>>n>>k;
	vector<int> a(n),b(n);
	for(int&ai:a) cin>>ai;
	for(int&bi:b) cin>>bi;
	if((n-k)&1) return cout<<0<<'
',0;
	sort(be(a),en(a));
	sort(be(b),en(b));
	vector<vector<int>> f(n+1,vector<int>(n+1,0));
	f[0][0]=1;
	for(int i=0,p=-1;i<n;i++){
		while(p+1<n&&b[p+1]<a[i]) p++;
		for(int j=0;j<n+1;j++) f[i+1][j]=f[i][j];
		for(int j=0;j<n;j++) (f[i+1][j+1]+=(ll)f[i][j]*(p-j+1)%mod)%=mod;
	}
	for(int j=n,s=1;j>=0;j--) f[n][j]=(ll)f[n][j]*s%mod,s=(ll)s*(n-j+1)%mod;
	vector<vector<int>> c(n+1,vector<int>(n+1,0));
	for(int i=0;i<n+1;i++){
		c[i][0]=c[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%mod;
	}
	int ans=0,t=(n+k)>>1;
	for(int i=t;i<n+1;i++){
		int sum=(ll)f[n][i]*c[i][t]%mod;
		if((i-t)&1) (ans+=-sum+mod)%=mod;
		else (ans+=sum)%=mod;
	}
	cout<<ans<<'
';
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！