Dijkstra算法的核心思想是贪心策略+动态规划
算法流程：
在以下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dis[]
初始化：源的距离dis[s]设为0，其他的点距离设为无穷大(实际程序里设成-1了)，同时把所有的点的状态设为没有扩展过。
循环n-1次：
- 在没有扩展过的点中取一距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
- 对于每个与u相邻的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，如果dis[u]+map[u,v]<dis[v]，那么把dis[v]更新成更短的距离dis[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
- 结束。此时对于任意的u，dis[u]就是s到u的距离。
wiki上有个很好的图，可以帮助理解算法过程：
测试数据来自清华的紫皮算法书，如下：
迭代过程如下：
|
迭代 |
S |
U |
dis[2] |
dis[3] |
dis[4] |
dis[5] |
|
初始 |
{1} |
--- |
10 |
-1 |
30 |
100 |
|
1 |
{1,2} |
2 |
10 |
60 |
30 |
100 |
|
2 |
{1,2,4} |
4 |
10 |
50 |
30 |
90 |
|
3 |
{1,2,4,3} |
3 |
10 |
50 |
30 |
60 |
|
4 |
{1,2,4,3,5} |
5 |
10 |
50 |
30 |
60 |
看上面的两个图，基本就能把Dijkstra算法的具体过程了解清楚。
算法正确性证明可以看Wiki和CLRS。
程序如下（测试数据就是上面的，输出了6个结果）：
int dijk(int s, int e);函数返回从s到e的最短路。
1 #include <stdio.h> 2 #include <limits.h> 3 #include <string.h> 4 5 const int n = 6; 6 int map[n][n]; 7 8 int dijk(int s, int e) 9 { 10 int dis[n]; 11 int used[n] = {0}; 12 int min, next; 13 memset(dis, 255, sizeof(dis));//把所有未更新的dis[]设置成-1 14 15 dis[s] = 0; //从s开始 16 17 for (int i=1; i<n; ++i) 18 { 19 min = INT_MAX; 20 for (int j=1; j<n; ++j) 21 { 22 if (!used[j] && dis[j]!=-1 && dis[j]<min) 23 { 24 min = dis[j]; 25 next = j; 26 } 27 } 28 if (min != INT_MAX) 29 { 30 used[next] = 1; 31 for (int j=1; j<n; ++j) 32 { 33 if (!used[j] && map[next][j]!=-1 && 34 (dis[j]>map[next][j]+dis[next] || dis[j]==-1)) 35 { 36 dis[j] = map[next][j] + dis[next]; 37 } 38 } 39 } 40 } 41 return dis[e]; 42 } 43 44 45 int main() 46 { 47 for (int i=1; i<n; ++i) 48 { 49 for (int j=1; j<n; ++j) 50 { 51 map[i][j] = -1; 52 } 53 } 54 55 map[1][2] = 10; 56 map[1][4] = 30; 57 map[1][5] = 100; 58 map[2][3] = 50; 59 map[3][5] = 10; 60 map[4][3] = 20; 61 map[4][5] = 60; 62 63 printf("%d %d %d %d %d %d ", dijk(1, 5), dijk(2, 3), dijk(1, 5), dijk(4, 5), dijk(1, 2), dijk(2, 4)); 64 65 66 return 0; 67 }
1 /*Dijkstra求单源最短路径 2010.8.26*/ 2 3 #include <iostream> 4 #include<stack> 5 #define M 100 6 #define N 100 7 usingnamespace std; 8 9 typedef struct node 10 { 11 int matrix[N][M]; //邻接矩阵 12 int n; //顶点数 13 int e; //边数 14 }MGraph; 15 16 void DijkstraPath(MGraph g,int*dist,int*path,int v0) //v0表示源顶点 17 { 18 int i,j,k; 19 bool*visited=(bool*)malloc(sizeof(bool)*g.n); 20 for(i=0;i<g.n;i++) //初始化 21 { 22 if(g.matrix[v0][i]>0&&i!=v0) 23 { 24 dist[i]=g.matrix[v0][i]; 25 path[i]=v0; //path记录最短路径上从v0到i的前一个顶点 26 } 27 else 28 { 29 dist[i]=INT_MAX; //若i不与v0直接相邻，则权值置为无穷大 30 path[i]=-1; 31 } 32 visited[i]=false; 33 path[v0]=v0; 34 dist[v0]=0; 35 } 36 visited[v0]=true; 37 for(i=1;i<g.n;i++) //循环扩展n-1次 38 { 39 int min=INT_MAX; 40 int u; 41 for(j=0;j<g.n;j++) //寻找未被扩展的权值最小的顶点 42 { 43 if(visited[j]==false&&dist[j]<min) 44 { 45 min=dist[j]; 46 u=j; 47 } 48 } 49 visited[u]=true; 50 for(k=0;k<g.n;k++) //更新dist数组的值和路径的值 51 { 52 if(visited[k]==false&&g.matrix[u][k]>0&&min+g.matrix[u][k]<dist[k]) 53 { 54 dist[k]=min+g.matrix[u][k]; 55 path[k]=u; 56 } 57 } 58 } 59 } 60 61 void showPath(int*path,int v,int v0) //打印最短路径上的各个顶点 62 { 63 stack<int> s; 64 int u=v; 65 while(v!=v0) 66 { 67 s.push(v); 68 v=path[v]; 69 } 70 s.push(v); 71 while(!s.empty()) 72 { 73 cout<<s.top()<<""; 74 s.pop(); 75 } 76 } 77 78 int main(int argc, char*argv[]) 79 { 80 int n,e; //表示输入的顶点数和边数 81 while(cin>>e>>n&&e!=0) 82 { 83 int i,j; 84 int s,t,w; //表示存在一条边s->t,q权值为w 85 MGraph g; 86 int v0; 87 int*dist=(int*)malloc(sizeof(int)*n); 88 int*path=(int*)malloc(sizeof(int)*n); 89 for(i=0;i<N;i++) 90 for(j=0;j<M;j++) 91 g.matrix[i][j]=0; 92 g.n=n; 93 g.e=e; 94 for(i=0;i<e;i++) 95 { 96 cin>>s>>t>>w; 97 g.matrix[s][t]=w; 98 } 99 cin>>v0; //输入源顶点 100 DijkstraPath(g,dist,path,v0); 101 for(i=0;i<n;i++) 102 { 103 if(i!=v0) 104 { 105 showPath(path,i,v0); 106 cout<<dist[i]<<endl; 107 } 108 } 109 } 110 return0; 111 }
参考资料:
Wikipedia：http://en.wikipedia.org/wiki/Dijkstra's_algorithm
Nocow：http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95
CLRS
《算法设计与分析》
（转）http://www.cnblogs.com/rootjie/archive/2012/05/15/2501317.html