前部分讲了许多概念，每个部分可以研究得很细。但这里想从宏观上了解这些概念的引入及分析有还是那么作用，为什么引入它们？这里仅是自己的感受，可能不对，可能有偏差，可能不够全面。但是，不怕，科研允许失败！
首先是线性空间。线性空间集运算、数域、集合三者在一起。通常在高维的情况下，各种幂运算（除1,2维），三角函数，指数函数等会使计算变得很复杂。而在很多实际问题中，我们可以将这类问题近似为线性问题。（《信号与系统》 刘树棠（译）一书提到）既然如此，线性空间“首当其冲”。
要讲现代数学，如果追溯其本质，理应从集合论开始。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合如群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的（如自然数、实数、函数）。从这个意义上说，集合论可以说是整个现代数学的基础。
在集合论的基础上，介绍了线性空间的三大元素：运算（映射）、数域（乘除加减封闭性）、集合。
我们将根据集合论来讨论它们。
一、数学基本描述
基、坐标
在考虑基本描述时，如何表示得完整、简单是我们的目标。这里我们用向量来表示。（向量的维数不等同与空间的维数）但是，向量的选择有无数种，我们不能漫无目的地认为这无数的向量各自独立，毫无关系，如果这样我们会对这巨大的表示量感到无力。完整简单才是我们选择的理想描述方式。于是，在考虑无关向量组，当无关向量组的向量个数到达所讨论的空间的维数时，我们可以称之为基。在选择特定的基之后，各个向量都可以用这组基来表示。如此，n维空间只需n个基来描述。当然基也有无数种选择，在某些应用下，更特殊地，我们考虑正交基，标准正交基。
二、集合及其描述
线性空间、线性子空间、子空间的交、和、直和（虽然线性空间包括三个元素，但这几个概念主要研究集合的）、不变子空间
这些可以在基的基础上讨论。基的个数和空间的维数。
三、映射及描述
线性变换（映射）及线性变换的矩阵表示（描述）
线性变换等价于矩阵。矩阵可以看成若干个列向量。如果一个杂乱无章的矩阵在线性微分方程、特征多项式、矩阵分解等各种问题中运算量会很大或者直接解似无办法！但如果可以变换成对角矩阵这类的矩阵，问题将会变得简单。于是，考虑对角矩阵（线性无关特征向量个数等于方阵维数）和Jordan矩阵（任意方阵）。在研究简化的过程中，我们谈到
相似变换
合同变换（二次型）
另外，特征向量除了可以使线性变换在该基下的矩阵形状最简单，还有很多实际的物理意义。
在考虑现实世界的长度、角度度量问题时，我们又进一步将线性空间特殊化，考虑的映射是：
正交变换
四、数域的选择
通常考虑实数域和复数域