一、引入特殊线性空间的必要性
在线性空间中,向量的基本运算金石线性运算,但是,若以解析几何中讨论过的通常三维向量空间R3作为线性空间的一个模型,就会发现在R3中诸如向量的长度、两个向量的夹角等度量概念,在线性空间的理论中还未得到反映。这些度量性质在很多实际问题中有着特殊的地位,这些度量性质在很多实际问题中有着特殊的地位。
二、Euclid空间的定义与性质
定义:
在原线性空间的基础上,满足更多的条件:给定的线性空间中,任意两个向量x与y,用(x,y)表示,满足四个条件:
(1)交换律:(x,y)=(y,x)
(2)分配率:(x,y+z)=(x,y)+(x,z)
(3)齐次性:(kx,y)=k(x,y)
(4)非负性:(x,x)≥0.当且仅当x=0,取等号
则称V为Euclid空间,简称欧式空间或实内积空间
无限维的情况:(f(t),g(t))=∫f(t)g(t)dt,对于实线性空间C(a,b)
矩阵内积:(A,B)=tr(AB-1)
注意到,内积运算和向量的线性运算是彼此无关的运算,所以无论内积如何规定,都不会影响实线性空间的维数。
性质:
(1)(x,ky)=k(x,y)
(2)(x,0)=(0,x)=0
(3)(∑ξixi,∑ηjyj)=∑ξiηj(xi,yi)
度量矩阵
三、向量长度、夹角
长度
长度又称模、范数,表示为|x|或||x||,根据非负性,它等于内积的平方根
性质
|kx|=|k| |x|
|x+y|≤|x|+|y|
单位向量
1/|x|*x(单位化或规范化)
向量夹角
cos<x,y>=(x,y)/|x| |y|
不等式:|(x,y)|≤|x| |y|,但且仅当x,y至少有一个是零向量或它们线性相关时,取等号
<x,y>=arccos(x,y)/|x| |y|
Schwarz不等式:
正交性(或垂直)
正交向量组(它们线性无关)->标准正交基(或法正交基)=>(xi,xj)=δij。当i=j时,δij=1,否则δij=0
Schmidt正交化
四、正交变换与正交矩阵
定义1:设V为欧式空间,T是V的一个线性变换,如果T保持V中任一个向量的长度不变,即有
(x,x)=(Tx,Tx)
那么称T是V的一个正交变换
定理1:线性变换T为正交变换的充要条件是,对于欧式空间V中任两个向量x,y都有
(x,y)=(Tx,Ty)
定义2:如果实方阵Q满足QTQ=I或Q-1=QT,则称Q为正交矩阵。
定理2:欧式空间的线性变换是正交变换的充要条件是,它对于标准正交基的矩阵是正交矩阵。
推论1:正交矩阵是非奇异的。
推论2:正交矩阵的逆矩阵仍是正交矩阵。
推论3:两个正交矩阵的乘积仍是正交矩阵。
注意:正交矩阵在标准正交基下的矩阵是正交矩阵;但是,它在别的基下的矩阵可能是正交矩阵,也可能不是正交矩阵。
五、对称变换与对称矩阵
设T是欧式空间V的一个线性变换,且对V任意两个向量x,y都有
(Tx,y)=(x,Ty)
成立,则称T为V中的一个对称变换。
定理1:欧式空间的线性变换是是对称变换的充要条件是,它对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵。
定理2:实对称矩阵的特征值都是实数。
定理3:实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量是正交的。
注意:就实对称矩阵而言,属于同一特征值的线性无关的特征向量不一定是正交的。但是,可以使用Schmidt正交化方法将它们正交化。
六、酉空间
欧式空间是针对实数域R上的线性空间而言的,这里讲介绍的酉空间是一个特殊的复线性空间。酉空间的理论与欧式空间的理论很相近,有一套平行的理论。
定义:四个条件
内积定义
夹角
正交
Schmidt正交化
正交基和标准正交基
酉变换
酉矩阵
Hermite变换
Hermite矩阵:AH=A
Hermite矩阵的特征值都是实数
属于Hermite矩阵的特征值都是实数
属于Hermite矩阵的不同特征值的特征向量必定正交
七、几个定理
定理1:n阶矩阵正交(酉)相似于上三角矩阵
定义1:设A属于Cn×n,且等式
AHA=AAH
成立,则称A为正规矩阵
容易证明,正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵、是对称矩阵以及Hermite矩阵都是正规矩阵。此外,B=UHEU也是,其中E是对角矩阵。
定理2:
(1)设A属于Cn×n,则A酉相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵;
(2)设A属于Rn×n,且A的特征值都是实数,则A正交相似于对角矩阵的充要条件是A为正规矩阵;
推论:
(1)实对称矩阵正交相思雨对角矩阵
(2)设T是欧式空间Vn的对称变换,则在Vn中存在标准正交基y1,y2,...,yn,使T在该基下的矩阵为对角矩阵。
补充:(酉相似定义)