一、其他定义
设T是线性空间V的线性变换，V中所有向量的象形成的集合，称为T的值域，用R(T)表示，即
R(T)={Tx|x属于V}
V中所有被T变为零向量的原象构成的集合，成为T的核，用N(T)表示，即
N(T)={x|Tx=0，x属于V}
定理1：线性空间V的线性变换T的值域和核都是V的线性子空间。
定义：象子空间的维数dimR(T)称为T的秩，核子空间的维数dimN(T)称为T的亏（或零度）
定理2：dimR(T)+dimN（T）=n，n为列数
定理3：折线性空间Vn的线性变换T，对于Vn的两个基x1,x2,x3...xn和y1,y2,...yn的矩阵依次是A和B，并且
（y1,y2,...,yn)=(x1,x2,...,xn)C
那么
B=C-1AC
相似矩阵
二、特征值、特征向量定义
现在讨论如何选择线性空间的基，使线性变换在该基下的矩阵形状最简单。为此，先论述线性变换的特征值和特征向量的概念，它们对于线性变换的研究，起着十分重要的作用。
定义：Tx=λx
有定义，有
T（kx）=λ0（kx），λ0是任意一个特征值。这意味着特征向量不是被特征值唯一确定，但是特征值却被特征向量唯一确定。
求法：略
特征矩阵:λI-A
特征多项式：φ（λ）=det（λI-A）
定义：设T是线性空间Vn的线性变换，λ0是T的一个特征值，称Vn的子空间Vλ0为T的属于λ0的特征子空间。
三、一堆定理
定理1：设A=（aij）n×n，B=（bij）n×n，则tr（AB）=tr（BA）.
定理2：相似矩阵有相同的迹。
定理3：相似矩阵有相同的特征多项式，因此也有相同的特征值。
定理4：设A1，A2，A3...An均为方阵，A=diag（A1，A2，A3...An），则det（λI-A）=Πdet（λIi-Ai），其中Ii表示与Ai同阶的单位矩阵。
定理5：设A属于Rm×n，B属于Rn×m，又设AB的特征多项式为φAB（λ），BA的多项式为φBA（λ），则λnφAB（λ）=λmφBA（λ）
定理6：任意n阶矩阵与三角矩阵相似。
定理7：n阶矩阵A是其特征多项式的矩阵根（零点），即令
φ（λ）=det（λI-A）=λn+a1λn-1+...+an-1λ+an
则
φ（A）=An+a1An-1+...+an-1A+anI=0
定义1：首项系数是1（简称首1），次数最小，且以矩阵A为根的λ的多项式，称为A的最小多项式，常用m（λ）表示。
定理8：矩阵A的最小多项式m（λ）可整除以A为根的任意首1多项式ψ（λ），且m（λ）是唯一的。
定理9：矩阵A的最小多项式m（λ）与其特征多项式φ（λ）的零点相同（不计重数）。
定理10：设n阶矩阵A的特征多项式φ（λ），特征矩阵λI-A的全体n-1阶子式的最大公因式为d（λ），则A的最小多项式为
m（λ）=φ（λ）/d（λ）
相似矩阵有相同的最小多项式
定理11：如果λ1，λ2，...，λn是矩阵A的互不相同的特征值，x1，x2，...，xn是分别属于它们的特征向量，那么，x1，x2...xn线性无关。
定理12：如果λ1，λ2...λk是矩阵A的不同特征值，而xi1，xi2，...，xirt是λi的线性无关的特征向量（i=1,2,...k）,那么所有的向量组也线性无关。
四、对角矩阵
对角矩阵是较简单的矩阵之一。无论是计算它的乘积、逆矩阵还是特征值等，都甚为方便。这里将要讨论，那些线性变换在适当基下的矩阵是对角矩阵的问题。
充要命题
定理1：设T是线性空间Vn的线性变换，T在一基下的矩阵A可以为对角矩阵的充要条件是T有n个线性无关的特征向量。（证明很简单）
定理2：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是，A有n个线性无关的特征向量，或A有完备的特征向量系。
充分命题
定理3：如果n阶矩阵有n个互不相同的特征值，那么它与对角矩阵相似。