范数的相容性:
||AB||≤||A||.||B||
容易知道,诱导p-范数和Frobenius范数满足相容性条件,且有
||AB||F≤min{||A||2||B||F,||A||F||B||2}.
椭圆向量范数:
||x||A=(xTAx)1/2
直交不变矩阵范数:
||UA||=||A||
显然,谱范数和Frobenius范数是直交不变范数
范数的等价性,收敛性
范数的几个重要不等式
(1)Cauchy-Schwarz不等式:
|xTy|≤||x||||y||
当且仅当x和y线性相关时,等式成立。
(2)设A是n×n正定矩阵,则
|xTAy|≤||x||||y||A
当且仅当x和y线性相关时,等式成立。
(3)设A是n×n正定矩阵,则
|xTy|≤||x||A||y||A
当且仅当x和A-1y线性相关时,等式成立。
(4)Young不等式:假定p和q都是大于1的实数,1/p+1/q=1,如果x和y是实数,则
xy≤xp/p+yq/q,
当且仅当xp=yq时,等式成立。
(5)Holder不等式:
其中p和q都大于1且满足1/p+1/q=1.
(6)Minkowski不等式:
||x+y||p≤||x||p+||y||p
其中,p≥1.