众所周知，(d)和(sigma)都是积性函数，今天我们来对这俩动刀子。
我打算只讲稍难(sigma)，剩下的那个(d)，留给大家自己思考。
根据定义得到：
(egin{aligned}sigma(p^k)=1+p+p^2+...+p^kend{aligned})
然后我们就能推导出(sigma)的求值式：
(egin{aligned}n=prod_{i=1}p_i^{c_i}end{aligned},)
(egin{aligned}sigma(n)=prod_{i=1}1+p_i+p_i^2...+p_i^{c_i}end{aligned})
尝试用线性筛构造这个函数：
设(x=i imes p_1)，其中(p)为(x)的最小质因子，(egin{aligned}x=prod_{i=1}p_i^{c_i}end{aligned})。
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(x)为质数：(sigma(x)=1+x)
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当(i)与(p_1)互质时：(sigma(x)=sigma(i) imessigma(p_1))
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当(i\%p_1=0)时：
我们具体来讨论一下这个情况。
(egin{aligned}sigma(x)=prod_{i=1}1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i}end{aligned})
(egin{aligned}sigma(i)=(1+p_1+p_2^2+..+p_1^{c_1-1})prod_{i=2}1+p_i+p_i^2+...+p_i^{c_i-1}end{aligned})
我们想要直接通过(sigma(i))来求(sigma(x))显然是不现实的，因为我们不知道(c_1)是多少。
那么我们应该怎么做呢？
我们尝试把这个包含绝对关系的式子转换成包含相对关系的式子。
因为我们(x)和(i)，从第二项开始就是一样的了，所以我们可以设：(egin{aligned}T=prod_{i=2}1+p_i+p_i^2+p_i^{c_i}end{aligned})
然后式子就转换为了：
(egin{aligned}sigma(x)=sigma(i)+p_1^{c_1} imes Tend{aligned})
我们来考虑一下怎么把这个讨厌的(p_1^{c_1})给处理了。
注意我们一开始的目标：把绝对关系转化成相对关系。
既然我们不知道(p_1^{c_1} imes T)的值，那么我们能不能求出(p_1^{c_1-1} imes T)的值呢？
注意到(egin{aligned}sigma(i)=sigma(frac i {p_1})+p_1^{c_1-1} imes Tend{aligned})。
然后怎么做应该就不用我多说了吧——盘他！
(egin{aligned}sigma(x)&=sigma(i)+p imes(sigma(i)-sigma(frac i {p_1}))\&=(1+p) imessigma(i)-p imessigma(frac i{p_1})end{aligned})
然后我们就能直接用线性筛来求约数函数了。
最后，我在稍微写一下(d)的式子吧：
(egin{aligned}d(x)=2 imes d(i)-d(frac i {p_1})end{aligned})