莫比乌斯反演的一些简单应用#1

莫比乌斯反演的式子我们在之前已经推导出来了为：

(f(n)=sum_{d|n}g(d),g(n)=sum_{d|n}f(d) imesmu(frac n d))

具体的推导过程可以参考我之前的一篇博客。

而我们在推导莫比乌斯反演这个式子之前，曾得到另外一个同样也很重要的式子：

(sum_{d|n}mu(d)=[n=1])

也就是 (mu*1=epsilon) 。

这个式子有啥用呢？

我们把它稍稍转换一下，令 (n=gcd(i,j))，这样的话，式子就变成了：

(sum_{d|gcd(i,j)}mu(d)=[gcd(i,j)=1])

而我们可以通过交换 (Sigma) 的位置来实现对一些类似 (gcd(i,j)=1) 式子的求解。

例1:

求：(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]) 。

这个就是我上面说的式子的一个具体应用啦，有了上面的式子，这个问题还是很简单的啦。

( sum_{i=1}^nsum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)=1])

(=sum_{i=1}^nsum_{i=1}^msum_{d|gcd(i,j)}mu(d))

(=sum_{d=1}^nmu(d)sum_{i=1}^{lfloorfrac n d floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac m d floor})

(=sum_{d=1}^nmu(d) imeslfloorfrac n d floor imeslfloorfrac m d floor)

然后就可以在(O(sqrt{n})) 的时间内求解了。

因为是例1，所以还是贴个代码，当个示范：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=10000000;
int mu[N+5],vis[N+5],sum[N+5],p[N+5];
ll ans;
int n,m,q;
using namespace std;
void sieve(){
    mu[1]=vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]==0){
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for (int i=1;i<=N;i++)
        mu[i]+=mu[i-1];
}
int main(){
    sieve();
    scanf("%d",&q);
    while (q--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if (n>m) swap(n,m);
        ans=0;
        for (int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*(n/l)*(m/l);
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}

例2：

求：(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k]) 。

其实这里只需要一个很简单的转化：

( sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[gcd(i,j)=k])

(=sum_{i=1}^{lfloorfrac n k floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac m k floor}[gcd(i,j)=1])

然后就和上面一样啦。

例3：

求：(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mi imes j imes[gcd(i,j)=k])

这个和上面其实也没有什么大差别，这里的(i,j)其实只是一个副产品，只要我们移(Sigma)的时候不要忘记对(i,j)项产生的影响即可。

( sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mi imes j imes[gcd(i,j)=k])

(=sum_{i=1}^{lfloorfrac n k floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac m k floor}i imes j imes k^2 imes[gcd(i,j)=1])

(=k^2 imessum_{d=1}^{lfloorfrac n k floor}mu(d) imessum_{i=1}^{lfloorfrac n {kd} floor}i imessum_{j=1}^{lfloorfrac m {kd} floor}j)

令(sum[n]=sum_{i=1}^ni) 。

(=k^2 imessum_{d=1}^{lfloorfrac n k floor}d^2 imesmu(d) imes sum[lfloorfrac n {kd} floor] imes sum[lfloorfrac m {kd} floor])

(O(sqrt{n})) 求解即可。

好了，先就这么多吧，剩下还有很多，毕竟莫比乌斯反演博大精深，以后再写了。