数论菜狗鼓起勇气，学习了莫比乌斯反演之后，——发现自己连菜狗都不是。。。
一些基本的数论函数的定义
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(id(n)=n)
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(1(n)=1)
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(epsilon(n)=left{egin{array}{rcl}1&n=1\0&n eq 1end{array} ight.)
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(d(n)=sum_{d|n}1)
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(sigma(n)=sum_{d|n}d)
这几个数论函数都是积性函数，其中前三个为完全积性函数。
（积性函数满足(f(a imes b)=f(a) imes f(b))，(gcd(a,b)=1)，而完全积性函数满足(f(a imes b)=f(a) imes f(b))，无需满足(gcd=1)的条件）
狄利克雷卷积
((f*g)_{(n)}=sum_{d|n}f(d) imes g(frac{n}{d}))
这东西满足交换律、结合律、分配律。
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交换律的证明：
((f*g)_{{n}}=sum_{d|n}f(d) imes g(frac{n}{d})=sum_{d|n}f(frac{n}{d}) imes g(d)=(g*f)_{(n)})
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结合律的证明：
(((f*g)*h)_{(n)}=sum_{d|n}h(frac{n}{d})sum_{k|d}f(k) imes g(frac{d}{k}))
( =sum_{d|n}sum_{k|d}f(k) imes g(frac{d}{k}) imes h(frac{n}{d}))
( =sum_{k|n}sum_{q|frac{n}{k}}f(k) imes g(q) imes h(frac{n}{kq}))
( =sum_{k|n}f(k)sum_{q|frac{n}{k}}g(q) imes h(frac{n}{kq}))
( =(f*(g*h))_{(n)})
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分配律的证明：
((f*(g+h))_{(n)}=sum_{d|n}f(d) imes(g(frac{n}{d})+h(frac{n}{d})))
( =sum_{d|n}f(d) imes g(frac{n}{d})+f(d) imes h(frac{n}{d}))
( =(f*g)_{(n)}+(f*g)_{(n)})
- (f*epsilon=f)，很简单，不证了。
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一个积性函数，卷上另一个积性函数，还是积性函数。
证明：
设(n=a imes b)，((a,b)=1)，(f)、(g)为两个积性函数，(h=f*g)。
(h(n)=sum_{T|n}f(T) imes g(frac nT))
(~~~~~~~~~=sum_{d_1|a,d_2|b}f(d_1) imes f(d_2) imes g(frac{a}{d_1}) imes g(frac{b}{d_2}))
(~~~~~~~~~=sum_{d_1|a}f(d_1) imes g(frac a{d_1})sum_{d_2|b}f(d_2) imes g(frac b{d_2}))
(~~~~~~~~~=h(a) imes h(b))
证毕
(varphi)函数的定义
(varphi (n))的定义为：(1-n) 中所有与(n)互质的数的个数。
(varphi)的积性及证明
(varphi)是一个积性函数
我们把(1-a imes b)这些数写成一个长方形：
(left(egin{array}{cc}1&2&...&a\a+1&a+2&...&2a\.&.&...&.\.&.&...&.\.&.&...&.\(b-1)a+1&(b-1)a+2...&...&abend{array} ight))
对于每一行：
- 因为((a,b)=1)所以每一行都有(varphi(a))个数与(a)互质。
对于每一列：
- 因为这(b)个数(\%b) 的余数互不相同，所以每一列都会有(varphi(b))个数与(b)互质。
综上：(varphi(a imes b)=varphi(a) imesvarphi(b))，即(varphi)为积性函数。
(varphi)函数的一些性质
- 如果(varphi (n))，(n)是一个质数，设(n=p^c)，那么(varphi(n)=p^c-p^{c-1})。（不证了)
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(varphi(n)=n imesprod_{i=1}^k1-frac{1}{p_i})
证明：
设(n=prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i})。
(varphi(n)=prod_{i=1}^kvarphi(p_i^{c_i}))
(varphi(n)=prod_{i=1}^kp_i^{c_i} imes(1-frac{1}{p_i}))
(varphi(n)=n imesprod_{i=1}^k1-frac{1}{p_i})
证毕
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(varphi*1=id)
证明：
设(f(n)=sum_{d|n}varphi(d))。
(ecause (n,m)=1)时
(f(n) imes f(m)=sum_{i|n}varphi(i) imessum_{j|m}varphi(j))
( =sum_{i|n}sum_{j|m}varphi(i) imes varphi(j))
( =sum_{ij|nm}varphi(ij))
( =f(n imes m))
( herefore f(n))为积性函数。
(f(p^c)=sum_{d|p^c}varphi(d)=varphi(1)+varphi(p)+varphi(p^2)+...+varphi(p^{c-1})=p^c)
设(n=prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i})。
( herefore f(n)=prod_{i=1}^kp_i^{c_i}=n)
即(f=varphi*1=id)。
(varphi)函数的求法
既然我们之前已经得出了(varphi)的通项公式，那么现在就来想一想(varphi)应该怎么来求吧。
听说这家伙又叫欧拉函数，那——，当然是用线性筛来求啦。
我们可以在用线筛求出质数的同时，把(varphi)也给更新了。
代码：
void sieve(){
varphi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if (!vis[i]) p[++p[0]]=i,varphi[i]=i-1;
for (int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=n;j++){
vis[i*p[j]]=1;
if (i%p[j]==0){
varphi[i*p[j]]=varphi[i]*p[j];
break;
}
varphi[i*p[j]]=varphi[i]*(p[j]-1);
}
}
}
(mu)函数的定义
设(n=prod_{i=1}^{k}p_i^{c_i})。
(mu(n)=left{egin{array}{rcl}1&n=1\(-1)^k&forall c_i,c_ile1\0&exists c_i>1end{array} ight.)
(mu)函数的一些性质
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(mu)有积性
证明：
若(mu(a)=0)或(mu(b)=0)，则(mu(a imes b)=mu(a) imesmu(b))。
(ecause (a,b)=1 herefore a)的质因数，与(b)的质因数互不相同。
( herefore mu(a imes b)=mu(a) imesmu(b),(a,b)=1)
证毕
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(mu*1=epsilon)
证明：
原命题可转化为：(sum_{d|n}mu(d)=[d=1])
设(n)有(k)个质因数。
(mu*1=sum_{d|n}mu(d)=sum_{i=0}^k(-1)^i imes C_k^i)
展开(sum)，得到：
(u*1=C_k^0-C_k^1+C_k^2-...(+/-)C_m^m=(1-1)^m)，中间用了二项式定理。
( herefore mu*1=epsilon)
证毕
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(id*mu=varphi)
证明：
两边同时卷上(1)。
( id*mu=varphi)
(id*mu*1=varphi*1)
( mu*1=epsilon)
证毕
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(frac{varphi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{mu(d)}{d})
证明：
我们从(varphi*1=id) 开始推导。
( varphi*1=id)
(varphi*mu*1=id*mu)
( varphi*epsilon=id*mu)
( varphi=id*mu)
展开后得到：
(varphi(n)=sum_{d|n}mu(d)*frac{n}{d})
( frac{varphi(n)}{n}=sum_{d|n}frac{mu(d)}{d})
证毕
莫比乌斯反演
若(g(n)=sum_{d|n}f(d))则(f(n)=sum_{d|n}mu(d) imes g(frac{n}{d}))
证明：
(f(n)=sum_{d|n}mu(d) imes g(frac{n}{d}))
( =sum_{d|n}mu(d)sum_{i|frac{n}{d}}f(i))
( =sum_{i|n}f(i)sum_{d|frac{n}{i}}mu(d))
( =sum_{i|n}f(i) imes (mu*1)_{[frac{d}{i}]})
( =sum_{i|n}f(i) imesepsilon(frac{n}{i}))
( =f(n))
证毕
其实还有别的形式：
(g(n)=∑_{n|d}f(n))，(f(n)=∑_{n|d}μ(d)g(frac{d}{n}))
证明类似，还请读者自行推导。