bzoj2705: [SDOI2012]Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

Source

round1 day1

Tip：

　　按gcd的不同，题目可以转化为：sigma(g*与n的最大公约数为g的数的个数)
　　先考虑与n的gcd=1的i，它的数量为 φ(n)
　　假设 gcd(i, N)=g,i=g*a,n=g*b，那么i与n同除以g后互质，也就是说：与n的最大公约数为g的数的个数为 φ(n/g)

　　可以在sqrt(n)范围内枚举n的因子，并求出其欧拉函数值

Code：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

long long n,ans;

long long phi(long long x){
    long long res=x;
    long long y=x;
    for(int i=2;i*i<=y;i++)
        if(x%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0) x=x/i;
        }
    if(x>1) res=res/x*(x-1);
    return res;
}

int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(long long i=1;i*i<=n;i++)
        if(n%i==0){
            ans+=i*phi(n/i);
            if(i!=n/i) ans+=(n/i)*phi(i);
        }
    printf("%lld",ans);
}