康托展开与逆康托展开原理

• 1. 康托展开

  • 康托展开的公式是 X=an * (n-1)! + an-1 * (n-2)! + ... + ai * (i-1)! + ... + a2 * 1! + a1 * 0! 其中，ai为当前未出现的元素中是排在第几个（从0开始）。

    举个例子来说明一下。例如，有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"]，它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"]，现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度，也就是4，所以： X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0!

  • 关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥？

    1. a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，"D"是第3大的元素，所以 a4 = 3。

    2. a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"B"是第1大的元素，"C" 是第2大的元素，所以 a3 = 1。

    3. a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素，"C"是第1大的元素，所以 a2 = 0。

    4. a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素，所以 a1 = 0。（因为子数组只有1个元素，所以a1总是为0）

    5. 所以，X(s1) = 3 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20

  • CODE：

      int fac[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880};	// 阶乘
      int Cantor(int s[],int n){			// 康托展开 
      	int num=0;
      	for(int i=0;i<n;i++){			 
      		int temp=0;					// 记录数字是第几大 
      		for(int j=i+1;j<n;j++)
      			if(s[i]>s[j])	temp++;
      		num += temp*fac[n-1-i];
      	}
      	return num+1;
      }
    

---

• 2. 通过康托逆展开生成全排列

  • 例 1.如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"]，X(s1) = 20，能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢？

    • 因为已知 X(s1) = a4 * 3! + a3 * 2! + a2 * 1! + a1 * 0! = 20，所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1？如果不考虑 ai 的取值范围，有
      　　
      　　3 * 3! + 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　2 * 3! + 4 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　1 * 3! + 7 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　0 * 3! + 10 * 2! + 0 * 1! + 0 * 0! = 20
      　　
      　　0 * 3! + 0 * 2! + 20 * 1! + 0 * 0! = 20
      　
      　 等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai，如下图所示：

  
  　　
  　　知道了a4、a3、a2、a1的值，就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D"，s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B"，s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A"，s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C"，所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。

   - 例 2.{1,2,3,4,5}的全排列，并且已经从小到大排序完毕，找出第96个数
  

　　
　　首先用96-1得到95
　　
　　用95去除4! 得到3余23
　　
　　用23去除3! 得到3余5
　　
　　用5去除2!得到2余1
　　
　　用1去除1!得到1余0有3个数比它小的数是4
　　
　　所以第一位是4
　　
　　有3个数比它小的数是4但4已经在之前出现过了所以是5（因为4在之前出现过了所以实际比5小的数是3个）
　　
　　有2个数比它小的数是3
　　
　　有1个数比它小的数是2
　　
　　最后一个数只能是1
　　
　　所以这个数是45321

- **CODE：**


		/*-----------------------------------------------------------------------------------*
		 *名称  ：逆康托展开				     
		 *作用  ：已知最初排列，按字典序排序后找到第x个序列    
		*-----------------------------------------------------------------------------------*/ 
		 
		#define ll long long
		#define cls(x) memset(x,0,sizeof(x))
		const int MAX_N = 11;		// 排列长度
		const int MAX_C = 9;		// 需要的最大阶乘N!
		ll fac[MAX_C];
		 
		// 初始化阶乘系数
		void init_fac(){
			fac[1] = fac[0] = 1;
			for(int i = 2 ; i < MAX_C ; i ++)		fac[i] = fac[i-1]*i;
		}
		// 寻找由1~n组成全排列按字典序排序后第x个排列
		void uCT(int n,int x){
			bool vis[MAX_N];	cls(vis);
			int  ans[MAX_N];	cls(ans);
		 	x--;
		 	int i , j;
		 	for(i = 0 ; i < n ; i++){
		 		int t = x/fac[n-i-1];		// 每次都寻找第t大的数
		 		for(j = 0 ; j < n ; j++){
		 			if(!vis[j]){
		 				if( t == 0 )	break;	
		 				t -- ;
		 			}
		 		}
		 		ans[i] = j;
		 		vis[j] = 1;
		 		x %= fac[n-i-1];
		 	}
		 	for(i = 0 ; i < n ; i++)	printf("%d ",ans[i] + 1);
			puts("");
		}

前面的文字转载自 http://archive.cnblogs.com/a/2026276/