HDU 2604 Queuing（ 递推关系 + 矩阵快速幂 ）

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链接：传送门

题意：一个队列是由字母 f 和 m 组成的，队列长度为 L，那么这个队列的排列数为 2^L 现在定义一个E-queue，即队列排列中是不含有 fmf or fff ，然后问长度为L的E-queue的个数 % M

思路：

• 这道题的关键是找到递推关系！递推关系为：Fn = Fn-1 + Fn-3 + Fn-4，与HDU1575简直一模一样，然后直接矩阵快速幂就OK了

• HDU 1575 题解链接

• 递推关系式不好找，我们可以将字母 f m 分别看为 1 0，给出一个长度L，排列数是为 2^L ，可以把它简单看作一个二进制数，L = 3 时这个队列的排列情况就是数 [ 0 ～ 2^3 ] ，可以写出来看看

  • L = 3

    • 0 0 0 , 0 0 1 , 0 1 0 , 0 1 1 , 1 0 0 , 1 0 1 , 1 1 0 , 1 1 1，不符合要求的是 1 0 1 & 1 1 1，所以 L = 3 时 E-queue 为 6

  • L = 4，可以认为是 2^3 * 2^ 3

    • 0 0 0 0 , 0 0 0 1 , 0 0 1 0 , 0 0 1 1 , 0 1 0 0 , 0 1 0 1 , 0 1 1 0 , 0 1 1 1
    • 1 0 0 0 , 1 0 0 1 , 1 0 1 0 , 1 0 1 1 , 1 1 0 0 , 1 1 0 1 , 1 1 1 0 , 1 1 1 1

  • 可以看出是 L = 3 的情况在前面分别加上 0 1 ，加上 0 是不影响 E-queue 的个数的 ， 所以 L = 4 答案的来源 是 L = 3 和其他来源，后来写出了L = 5 和 L = 6 时候的答案，发现 Fn = Fn-1 + Fn-3 + Fn-4 （ n 相当于 L ），具体为什么为还没有得到一种比较合理的解释，过段时间再补吧......递推关系的寻找还是相当重要的...... 我真是菜的扣脚...... 还是蒟蒻

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    > File Name: hdu2604.cpp
    > Author:    WArobot 
    > Blog:      http://www.cnblogs.com/WArobot/ 
    > Created Time: 2017年05月03日 星期三 18时30分45秒
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int MOD;
const int maxn = 4;
#define ll long long
#define mod(x) ((x)%MOD)

struct mat{
	int m[maxn][maxn];
}unit;

mat operator *(mat a,mat b){
	mat ret;	
	ll x;
	for(int i=0;i<4;i++){
		for(int j=0;j<4;j++){
			x = 0;
			for(int k=0;k<4;k++)
				x += mod( (ll)a.m[i][k]*b.m[k][j] );
			ret.m[i][j] = x;
		}
	}
	return ret;
}
void init_unit(){
	for(int i=0;i<maxn;i++)	unit.m[i][i] = 1;
	return;
}
mat pow_mat(mat a,ll x){
	mat ret = unit;
	while(x){
		if(x&1)	ret = ret*a;
		a = a*a;
		x >>= 1;
	}
	return ret;
}

mat a,b;
void init(){
	memset(a.m,0,sizeof(a.m));
	memset(b.m,0,sizeof(b.m));
	a.m[0][0] = a.m[0][2] = a.m[0][3] = 1;
	a.m[1][0] = a.m[2][1] = a.m[3][2] = 1;
	b.m[0][0] = 9;	b.m[1][0] = 6;	
	b.m[2][0] = 4;	b.m[3][0] = 2;
}
int main(){
	init();
	init_unit();
	int ss[4] = {2,4,6,9};
	int n;
	while(~scanf("%d%d",&n,&MOD)){
		if(n<5)		printf("%d
",ss[n-1]%MOD);
		else{
			mat ans = pow_mat(a,n-4);
			ans = ans*b;
			printf("%d
",ans.m[0][0]%MOD);
		}
	}
	return 0;
}