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动态规划（Dynamic Programming, DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法……
（先忘了这个吧）允许我从另一个角度去理解并解释动态规划，那么开始吧。
一、维度
首先说明维度（Dimension）这个概念。这儿有一个很好很有启发意义的回答：http://www.guokr.com/question/584012/?answer=760222#answer760222。
里面提到所谓的维度其实就是允许某种东西自由变化的范围。
比如说，人，人在地球上就有无数个维度，包括人当前所在的经度、纬度和高度，还有人的身高、体重和头发颜色之类的，甚至还有时间这个维度。
因此，世间万物都具有无数个维度。事实上在具体的问题中显然并不需要考虑这无数个维度，只需分析具体问题所需要的维度。
比如说，一个导航的程序，人的身高、体重和头发颜色是无所谓的，而经度和纬度是导航程序最关心的两个基础维度，此外还有方向、速度等等维度是和导航相关的，总之具体问题具体分析。
现在联想一下高级语言里数组，如果把多维数组各个维度拿出来看，是不是与物理上的“维度”的概念有种异曲同工之妙？
-
int dp[n0][n1][n2];
比如上面这个多维数组每个维度n0、n1和n2都可以自由在0到ni-1变化，这正是维度的概念！只不过这些维度是些表面没有太多意义的连续非负整数。
如果我们赋予它们意义呢？请看下一节，【状态】。
二、状态
事物具有多个维度，反之多个维度就能共同描述一个事物，而多个维度的值就描述了事物的状态。
比如说，导航程序，经度和纬度这两个维度的值就能描述当前某用户的状态，即这个用户正在某经度某维度的地方。
对应于数组，经度、纬度两个维度对应了二维数组：
-
int dp[MaxLng][MaxLat];
如果多维数组各个维度的值确定后，那么就相当于确定了在多维数组中具体哪一个单元格。因此可以这么说，各个单元格就对应了各个状态，数组就是状态的集合，而状态就是通过确定数组各个维度的值定位的！
-
dp[x][y]所对应的单元格就表示人在经度x纬度y的状态
不过，单元格可不仅仅是单元格，因为数组可以是bool类型、int类型等等，即这个单元格有值的。这个值就是状态的值，而状态该是什么类型的值，取值是多少这取决于具体的问题。
注意，上面说到值有两个，红色字，一个是维度的值，一个是状态的值，其中维度的值描述了具体的状态。
比如说，上面的导航程序的数组是int类型，这样dp[x][y]就可以拿来表示人在到达经度x纬度y这个状态所需的时间（分钟数）。
再比如说，如果数组是bool类型，这样dp[x][y]就可以拿来表示人能否到达经度x纬度y这个状态。
在动态规划问题里，状态的值经常是最小值、最大值和方案数等。一般就是从已知的初始状态的值，通过状态的转移，得出最终目标状态的值。
不过，上面提到的这个“状态”还不是动态规划里的“状态”，因为还少了一样东西——请看下一节，【无后效性】。
三、无后效性
动态规划的状态必须是无后效性的。下面我用一道题目具体说明什么是无后效性。
有一楼梯共M级，刚开始时你在第一级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？
这个问题里面很容易找到一个维度：楼梯的级数。那么到达第i级台阶就是一个状态，简称状态i，问题所需要求的是到达状态i的方案数，即：
- dp[i]表示到达第i级台阶的方案数
i的取值是从1到M，也就是说有M个状态。这M个状态之间是有关系的。比如可以从第1级的台阶直接移动到第2级或者第3级，或者第5级台阶可以从第3级或者第4级台阶直接移动到。
下面就M取5画一张状态图：
这张图上面的顶点表示的是各个状态，有向边（弧）就表示状态的转移。事实上这张图是一张有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph），即从任何一点出发不可能回到自身。
也就是说在那张图中状态i是通过状态i-1和状态i-2确定的，并且和状态i-3、i-4、i-5...没有一点关系，之后状态i也不会影响到状态i-3、i-4、i-5…，i-3、i-4、i-5状态的值已经是确定好的。
这就是无后效性。动态规划的状态必须是无后效性的状态。
动态规划本质上可以理解成在一个DAG上的递推：入度0的状态点就是初始的状态，有向边说明了状态转移的方向，通过状态的转移按着DAG的拓扑序推出最终目标状态的值。而由于是DAG，状态不会重复经过，最多就经过所有的状态。
具体如何转移请看下一节，【状态转移】。
四、状态转移
前面提到了，动态规划的过程就是从初始状态转移到最终的目标状态，而初始状态的值是知道的，目标状态的值就是问题需要的。
还是那一题【超级楼梯】，状态（的值）是这么表示的：
-
dp[i]表示到达第i级台阶的方案数
而转移的表示，通常当然不是画图，而是写出状态转移方程：
- dp[i] = 1 （i=1）
- dp[i] = dp[i-1] （i=2）
- dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] （i>2）
为什么是这样呢？可以从之前画的状态图中理解。
- 首先dp[1]就表示到达台阶1的方案数，一开始就在台阶1，这个状态的值当然就是1了，即dp[1]=1，而事实上这个也正是初始状态；
- 然后dp[i]=dp[i-1]（i=2），也就是说dp[2]=dp[1]，因为走到台阶2只有一种策略就会从台阶1走来，因而到达台阶2的方案数就等于达到台阶1的方案数，也就是1；
- 最后dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]（i>2），这个从语义上理解是这样的：走到i-1的方案数是dp[i-1]，然后向上走一步就到了i，因而状态i的方案数就有dp[i-1]；而走到i-2的方案数是dp[i-2]，然后向上走2步就到了i，因而状态i的方案数又可以有dp[i-2]种；总共就是dp[i-1]+dp[i-2]个方案数。
那么有了状态转移方程，就可以动手写程序实现了。具体程序的实现多种多样，但要注意的是状态的值一定要按拓扑序依次求出。下面我讲讲讲三种方式：“人人为我”、“我为人人”和记忆化搜索。其中“人人为我”和“我为人人”这两个是我从北大ACM-ICPC暑期课的课件中学到的。
- “人人为我”
这个很常见，就是上面转移方程表示的那样。
状态图大概可以这么看：
比如可以看到状态5就是从3和4转移过来的。
写成程序就是这样：
#include<cstdio>
using namespace std;
int dp[41];
int main(){
dp[1]=1; dp[2]=1;
for(int i=3; i<=40; ++i){
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
}
int N,M;
scanf("%d",&N);
while(N--){
scanf("%d",&M);
printf("%d
",dp[M]);
}
return 0;
}
- “我为人人”
这个是从当前状态顺着推过去，更新能到达状态的值。
这个实现起来挺直观的，因为是顺着往前推。
状态图可以这么看：
比如可以看到状态1更新到2和3。
写成程序是这样的：
#include<cstdio>
using namespace std;
int dp[44];
int main(){
dp[1]=1;
for(int i=1; i<40; ++i){
dp[i+1]+=dp[i];
dp[i+2]+=dp[i];
}
int N,M;
scanf("%d",&N);
while(N--){
scanf("%d",&M);
printf("%d
",dp[M]);
}
return 0;
}
- 记忆化搜索
一般都是用DFS实现，就是用搜索当前状态能从哪儿转移过来。
另外开一个数组记录搜索过的状态的值，避免重复搜索，时间复杂度就不会是指数级的了，而是多项式级。
有时候用记忆化搜索很直观，而且记忆化搜索还可以避免搜索无意义、不需要的状态，从而使效率提升。
这个直接上代码吧：
#include<cstdio>
using namespace std;
int dp[44];
int dfs(int i){
if(dp[i]!=0) return dp[i];
return dp[i]=dfs(i-1)+dfs(i-2);
}
int main(){
dp[1]=1; dp[2]=1;
int N,M;
scanf("%d",&N);
while(N--){
scanf("%d",&M);
printf("%d
",dfs(M));
}
return 0;
}
五、最后
如果有什么地方说得不好或者不对的欢迎交流。
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