• Dijkstra算法 (迪杰斯特拉)


    定义

      Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。

    原理

      设图 G=(V,E) 所有顶点的集合为 V,起点为 S,最短路径树中包含的顶点集合为 S。在各计算步骤中,我们将选出最短路径树的边和顶点并将其添加至S。

      对于各顶点 i,设仅经由S内的顶点的 s 到 i 的最短路径成本为 d[i], i 在最短路径树中的父节点为 p[i]。

      ①初始状态下将 S 置空。

          初始化 s 的 d[s]=0;除 s 外,所有属于 V 的顶点 i 的 d[i]=∞。

      ②循环进行下述处理,直至 S=V 为止。

          从 V-S 中选出 d[u] 最小的顶点 u。

         将 u 添加至 S,同时将与 u 相邻且属于 V-S 的所有顶点 v 的值按照下述方式更新

         if(d[u] + w(u,v) < d[v])

            d[v] = d[u] + w(u,v) , p[v] = u ;

      ❗ 显然迪杰斯特拉算法并不能处理负权图。下图中A->B的最短路应为 3=8-5,但用此算法算出来的A->B的最短路为7。

     

      迪杰斯特拉最短路径算法和普利姆算法贼像。:)

    实现

    原算法

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int maxn=1005;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    struct node
    {
      int v,w;
      node(){}
      node(int a,int b)
      {v=a;w=b;}
    };
    vector<node> e[maxn];
    int n,m;
    void dij();
    int main()
    {
      int i,u,v,w;
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(i=1;i<=m;i++)
      {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        e[u].push_back(node(v,w));
      }
      dij();
      system("pause");
      return 0;
    }
    void dij()
    {
      int dis[maxn],vis[maxn]={0},i,j,mmin,f;
      fill(dis,dis+maxn,inf);
      dis[1]=0;
      for(i=1;i<=n;i++)
      {
        mmin=inf;
        for(j=1;j<=n;j++)
          if(!vis[j]&&dis[j]<mmin)
            mmin=dis[f=j];
        
        vis[f]=1;
        for(j=0;j<e[f].size();j++)
        {
          if(dis[e[f][j].v]>dis[f]+e[f][j].w)
            dis[e[f][j].v]=dis[f]+e[f][j].w;
        }
      }
      for(j=1;j<=n;j++)
        printf("1->%d   %d
    ",j,dis[j]);
    }

    优先队列优化

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int maxn=1005;
    const int inf=0x3f3f3f3f;
    struct node
    {
      int v,w;
      node(){}
      node(int a,int b)
      {v=a;w=b;}
      bool operator <(const node &n) const
      {return w>n.w;}
    };
    vector<node> e[maxn];
    int n,m;
    void dij_queue();
    int main()
    {
      int i,u,v,w;
      scanf("%d%d",&n,&m);
      for(i=1;i<=m;i++)
      {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        e[u].push_back(node(v,w));
      }
      dij_queue();
      system("pause");
      return 0;
    }
    void dij_queue()
    {
      int dis[maxn],vis[maxn]={0},u,v,w,i;
      node p;
      priority_queue<node> que;
      que.push(node(1,0));
      fill(dis,dis+maxn,inf);
      dis[1]=0;
      while(!que.empty())
      {
        p=que.top();que.pop();
        u=p.v;
        if(vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
        for(i=0;i<e[u].size();i++)
        {
         w=e[u][i].w;v=e[u][i].v;
         if(!vis[v]&&dis[v]>dis[u]+w)
          {
            dis[v]=dis[u]+w;
            que.push(node(v,dis[v]));
          }
        }
      }
      for(i=1;i<=n;i++)
        printf("1->%d   %d
    ",i,dis[i]);
    }

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