BZOJ3027

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Description

给出(n(nleq10),a,b(a,bleq10^7))与({c_n}(c_ileq10^6))，求使得(sum_{i=1}^n x_i in[a,b])且(x_iin[0,c_i])的方案数，对(2004)取模。

Solution

定义(f(m))表示“将不超过(m)个物品放入(n)个盒子，且第(i)个盒子中的物品数在([0,c_i])范围内”的方案数。原问题就是求(f(b)-f(a-1))。我们进行容斥：

有(0)个盒子超出范围=至少有(0)个盒子超出范围-至少有(1)个盒子超出范围+至少有(2)个盒子超出范围-...

因为(nleq10)，所以我们可以枚举哪些盒子超出范围，共有(2^n)种。接下来我们只需求：将不超过(m)个物品放入(n)个盒子中，对于其中的(k)个盒子(p_1..p_k)，其中的物品数超过范围的方案数。
我们先向这(k)个盒子里分别放入(c+1)个物品，然后再将剩下的物品放进(n)个盒子。将不超过(m_0)个物品放进(n)个盒子的方案数为(inom{m_0+n}{n})，也就是将(m_0)分成(n+1)个非负整数的方案数。如果无法让(k)个盒子都超出范围，方案数就为(0)。
不过一个组合数对(2004)取模很烦。一般来说，如果要模一个不能表示成(p^q)的数，需要用中国剩余定理进行展开再用扩展Lucas定理。(2004=2^2 imes 3 imes 167)，分别对(2^2,3,167)取模再组合起来。不过因为这道题(n)很小，所以有一种简单做法：

证明：(dfrac{a}{b} mod m= dfrac{a mod bm}{b})。
设(dfrac{a}{b} mod m=c)，则有(dfrac{a}{b} = kcdot m+c Rightarrow a=kcdot bm +bc)
所以(a mod bm=bc)，即(c=dfrac{a mod bm}{b})。

对于本题来说，(dbinom{m_0+n}{n} mod2004=dfrac{prod_{i=0}^{n-1}(m_0+n-i) mod (2004cdot n!)}{n!})，(O(n))暴力计算即可。

时间复杂度(O(n2^n))。

Code

//[CEOI2004]Sweet
#include <cstdio>
typedef long long lint;
lint const H=2004;
int n,a[20];
lint facN;
int C(int a,int b)
{
    lint r=1;
    for(int i=1;i<=b;i++) r=(r*(a-i+1))%(facN*H);
    return r/facN;
}
int dfs(int x,int m,int cnt)
{
    if(m<0) return 0;
    if(x>n) return ((cnt&1?-1:1)*C(m+n,n)+H)%H;
    int r=0;
    r+=dfs(x+1,m-a[x]-1,cnt+1);
    r+=dfs(x+1,m,cnt);
    return r%H;
}
int main()
{
    int x,y; scanf("%d%d%d",&n,&x,&y);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    facN=1; for(int i=1;i<=n;i++) facN=facN*i;
    int ans=dfs(1,y,0)-dfs(1,x-1,0);
    printf("%lld
",(ans+H+H)%H);
    return 0;
}

P.S.

%%%Icefox，%%%Pickupwin