群的定义
若非空集合(G)和定义在(G)上的二元运算(⋅)构成的代数结构((G,⋅))，满足：
- 封闭性：(forall a,bin G)，有(a⋅bin G)。
- 结合律：(forall a,b,cin G)，有((a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c))。
- 单位元：(exists ein G)，满足(forall ain G)有(a⋅e=a)。
- 逆元：(forall ain G)，(exists bin G)使得(a⋅b=e)，记(a^{-1}=b)。
则代数结构((G,⋅))是一个群（group）。
常见的群有：整数、有理理数、实数加法群；模(n)意义下的加法群；模(n)意义下与(n)互质的数构成的乘法群；置换群，群的元素是一个双射(f)，运算为映射的复合。
拉格朗日定理
对于群((G,⋅))，若有(G'subset G)且((G',⋅))也是群，则有(|G|)是(|G'|)的倍数。
证明：
记(G_a)表示集合(G)的陪集({x⋅a|xin G})，那么易知(|G_a|=|G|)。
对于(a,bin G)，若有(G'_acap G'_b eq emptyset)，则(exists x,yin G')满足(x⋅a=y⋅b ⇔ a=x^{-1}⋅y⋅b)。
那么(forall zin G')，有(z⋅a=z⋅(x^{-1}⋅y⋅b)=(z⋅x^{-1}⋅y)⋅b)。易知(z⋅x^{-1}⋅y in G')，所以(G'_a)中的每一个元素都存在于(G'_b)中，即(G'_a=G'_b)。
于是可知(G')的陪集之间只有两种关系，互不相交或完全相同。而由于(ein G')，所以(G')的所有陪集的并就是(G)。又由于陪集的大小等于原集合，所以(|G|)是(|G'|)的倍数。
由拉格朗日定理可以推出欧拉定理(a^{varphi(m)} equiv 1 pmod m)。
证明：
设集合(S={a_1,a_2,...,a_{varphi(n)}})，其中(gcd(a_i,n)=1)。(S)与模乘法形成的代数结构((S, imes))是群。
那么设(S_i={1,a_i,a_i^2,a_i^3...})，易知((S_i, imes))是((S, imes))的子群，即(|S_i||varphi(n))。而(a_i^{|S_i|}equiv 1)，所以(a_i^{varphi(n)}equiv 1)。
Burnside引理
如果对于(x,yin M)，(∃fin G)使得(f(x)=y)，那我们就称(x)和(y)是本质相同的。定义集合(M)关于置换群(G)的轨道数为(M)中本质不同的元素个数。
若对于(xin M)和置换(f)有(f(x)=x)，则称(x)是(f)的一个不动点。
集合(M)关于置换群(G)的轨道数，等于(G)中每个置换下不动点的个数的算术平均数。
Polya定理
每一个置换都可以表示成若干个轮换。轮换中的元素互相交换且不影响该轮换外的元素。例如(f=egin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\2&1&4&6&5&3end{pmatrix})就是({1,2},{3,4,6},{5})的轮换，其轮换数为(3)。记(c(f))为置换(f)的轮换数。
设(G)是(n)个对象的一个置换群，用(m)种颜色为这(n)个对象上色，则本质不同的染色方案数为(dfrac{sum_{fin G}m^{c(f)}}{|G|})。
其实Polya定理就相当于说置换(f)的不动点个数为(m^{c(f)})。因为每个轮换必须填相同颜色才能在经过(f)后保持不变，所以不动点个数为(m^{c(f)})。