欧几里得算法及其扩展学习笔记

欧几里得算法

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• 人物介绍

在欧几里得著的《几何原本》里面，有用线段的划分来讲解这个数学方法的，这里我们从代数而不是几何上来讲，并且侧重于算法OI竞赛。

欧几里得算法（$gcd$），又称辗转相除法，可以用来快速计算两个整数的最大公约数，并有许多扩展应用。

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下面我们来看公式:
$gcd(n,m)=gcd(m,n m mod m)$

我们可以简单的证明一下这个公式的正确性:
我们令$g=gcd(n,m)$，那么显然$g|n,g|m$（$a|b$表示$a$为$b$的因子）。又因为$n m mod m=n-m imes lfloorfrac{n}{m} floor$，那么我们可以将$n,m$写为$n=k_1g,m=k_2g$，那么$n m mod m=n-m imes lfloorfrac{n}{m} floor=k_1g-k_2glfloorfrac{k_1g}{k_2g} floor=gleft(k_1-k_2leftlfloorfrac{k_1g}{k_2g} ight floor ight)$，而$left(k_1-k_2leftlfloorfrac{k_1g}{k_2g} ight floor ight)$肯定为整数，所以$g|(n m mod m)$，那么显然$g|gcd(m,n m mod m)$，(因为$g$为$n,m$的因子)。接下来我们令$hat g=gcd(m,n m mod m)$，那么显然有$hat g|g$，又因为前面我们可以得知$g|hat g$，所以就有$g=hat g$，那么$gcd(n,m)=gcd(m,n m mod m)$。

所以代码就简单啦!
递归边界为$m=0$时，因为模数不能为0，所以此时就可以直接返回$n$。

int gcd(int n,int m){
	if(!m) return n;
	else return gcd(m,n%m); 
}//也可以用自带的__gcd(n,m);

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扩展欧几里得算法

• 前置

• 裴蜀定理（贝祖定理）

内容:对于一个系数为整数（$a,b,c$为整数）的二元一次方程$ax+by=c$，若其存在整数解，当且仅当$gcd(a,b)|c$。
用处:判断一个上述的二元一次方程是否有整数解。

简单的证明：
我们令$g=gcd(a,b)$，同样的我们可以将$a,b$写成$a=k_1g,b=k_2g$，那么显然$ax+by=g(k_1x+k_2y)$，所以$g|(ax+by)$。

所以当$gcd(a,b)|c$时必然有整数解，下面我们将在扩展欧几里得算法讲解给出证明，及其整数解的求法。

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正题

• Exgcd

$ax+by=c$在$c|gcd(a,b)$前提下是否一定有整数解呢？

因为有了前提，所以我们可以将原式写成$ax+by=kcdot gcd(a,b)$，由于$k$为整数，那么如果$ax+by=gcd(a,b)$有整数解，那么原式一定有整数解（倍数关系），那么只需证明并求出$ax+by=gcd(a,b)$的一组特殊解$(x_1,y_1)$，然后所有的解都可以表示出来（原来的解就是现在解的$k$倍）。

所以现在我们只需证明$ax+by=gcd(a,b)$有解即可。

通过$gcd$的递推式可知，我们如果的到如下式子的一组解：
$bx+(a m mod b)y=gcd(b,a m mod b)$
令解为$(x_1,y_1)$，那么就有如下推导:
$ax+by=bx_1+(a m mod b)y_1$
$=bx_1+(a-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor imes b)y_1$
$=ay_1+(x_1-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y_1)b$
一个小引理当$ax+by=az+bk$，必然$x,y$有一组解为$x=z,y=k$。
$ax+by=ay_1+(x_1-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y_1)b$
所以有一组解为$x=y_1,y=x_1-leftlfloorfrac{a}{b} ight floor y_1$，而这个解显然一定会满足$ax+by=gcd(a,b)$。所以我们不仅证明了它一定有解，还构造出了解的样子和求法。
代码就是这样的：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){x=1;y=0;return a;}
	else {int now=exgcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);return now;}
}	

递归边界显然就是当$ax+by=gcd(a,b)$的时候，$b=0$，显然$gcd(a,b)$不合法，所以我们就令$gcd(a,0)=a$，那么原来方程就变为$ax=a$，显然$x=1,y=0$。

辗转相减的用途

既然有更快的辗转相除，那么辗转相减有什么用呢？
我们知道$gcd(a,b)=gcd(a,b-a)$，那么容易推广而知$gcd(a_1,a_2,a_3,cdots ,a_n)=gcd(a_1,a_2-a_1,a_3-a_2,cdots,a_n-a_{n-1})$，那么对于一个序列$a$的区间$gcd$，我们可以通过差分的方式快速维护。
题目：bzoj 5028 小Z的加油店

应用

• 求乘法逆元

因为我们可以发现，逆元式子$axequiv 1( m mod m)$，$x$为逆元，当$gcd(a,m)=1$，它可以写成$acdot x=1+bcdot m$，也就是$acdot x+(-b)cdot m=1$，因为$gcd(a,m)|1$，所以我们用扩展欧几里得算法求出这个方程的一组解，其中的$x$便是它的逆元。友链-逆元求法

• 求方程的一组解（基本操作）

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• 辗转相除法神奇用法:求以下式子
  $sum_{i=1}^{n}leftlfloorfrac{i imes p}{q} ight floor$
  具体为转换成三角形求内部整点个数。

• 题目1

• 题目2

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