[bzoj3027][Ceoi2004]Sweet【生成函数】【组合数】

[题目描述]

3027: [Ceoi2004]Sweet

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Description

John得到了n罐糖果。不同的糖果罐，糖果的种类不同（即同一个糖果罐里的糖果种类是相同的，不同的糖果罐里的糖果的种类是不同的）。第i个糖果罐里有 mi个糖果。John决定吃掉一些糖果，他想吃掉至少a个糖果，但不超过b个。问题是John 无法确定吃多少个糖果和每种糖果各吃几个。有多少种方法可以做这件事呢？  
  
 

Input

从标准输入读入每罐糖果的数量，整数a到b 
 
John能够选择的吃掉糖果的方法数（满足以上条件）  
 

Output

 
把结果输出到标准输出（把答案模 2004 输出） 

1<=N<=10,0<=a<=b<=10^7,0<=Mi<=10^6

Sample Input

2 1 3
3
5

Sample Output

9

HINT

(1,0),(2,0),(3,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(2,1) 

Source

[题解]

用生成函数将答案表示出来，函数为：

1/((1-x)^n)*(1-x^(m1+1))*(1-x^(m2+1))*...*(1-x^(mn+1))

第2项到第(m+1)项乘出的非零项不会超过2^n，暴力枚举计算贡献；

第一项为一串组合数的前缀和，设当前枚举的后面的项的次数为k

ans=C(n-1,n-1)+C(n,n-1)+..+C(n+lim-k-1,n-1)

=C(n,n)+C(n,n-1)+..+C(n+lim+k-1,n-1) 

因为C(n,n)+C(n,n-1)=C(n+1,n),所以ans=C(n+lim+k,n);

在取模时C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)%P,可以先将P*m!最后将答案除m！

证明：设C(n,m)%(P*m!)=A 即A+k*Pm!=n!/(m-n)!

A/m!+k*P=n!/(m-n)!m! 因为k*P∈Z，C(n,m)∈Z 所以A/m!∈Z

因此 C(n,m)%P=A/m!

[代码]

/* --------------
    user Vanisher
    problem bzoj-3027
----------------*/
# include <bits/stdc++.h>
# define 	ll 		long long
# define 	N 		11
# define 	M 		10000100
# define 	P 		2004
using namespace std;
int m[N],a,b,ans,n;
int read(){
	int tmp=0, fh=1; char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') fh=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){tmp=tmp*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return tmp*fh;
}
int C(int n, int m){
    if (n<m) return 0;
    ll t=1; ll p1=1;
    for (int i=1;i<=m;i++) p1=p1*i;
    ll mod2=(ll)P*p1;
    for (int i=n-m+1;i<=n;i++) t=(ll)t*i%mod2;
    return (t/p1)%P;
}
void check(int k, int lim, int tag){
	//int l=C(n-1,n-1), r=C(n+lim-k-1,n-1); --> C(n+lim-k-1,n);
	ans=(ans+C(n+lim-k,n)*tag+P)%P;
}
void dfs(int k, int now, int lim, int tag){
	if (now>lim) return;
	if (k>n) {
		check(now,lim,tag);
		return;
	}
	dfs(k+1,now,lim,tag);
	dfs(k+1,now+m[k]+1,lim,tag*(-1));
}
int main(){
	n=read(), a=read(), b=read();
	for (int i=1; i<=n; i++) m[i]=read();
	dfs(1,0,a-1,-1); dfs(1,0,b,1);
	cout<<ans<<endl; 
	return 0;
}