• hdu 5656 CA Loves GCD(dp)


    题目的意思就是: 
    n个数,求n个数所有子集的最大公约数之和。

    第一种方法: 
    枚举子集,求每一种子集的gcd之和,n=1000,复杂度O(2^n)。 
    谁去用?

    所以只能优化! 
    题目中有很重要的一句话!

    We guarantee that all numbers in the test are in the range [1,1000].
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    这句话对解题有什么帮助? 
    子集的种数有2^n种,但是,无论有多少种子集,它们的最大公约数一定在1-1000之间。 
    所以,我们只需要统计1-1000的最大公约数中可以有多少中方法凑成就可以了!

    我们就会考虑dp。 
    官方题解:

    我们令dp[i][j]表示在前i个数中,选出若干个数使得它们的gcd为j的方案数,于是只需要枚举第i+1个数是否被选中来转移就可以了。
    令第i+1个数为v,当考虑dp[i][j]的时候,我们令$dp[i+1][j] += dp[i][j],dp[i+1][gcd(j,v)] += dp[i][j]。
    复杂度O(N*MaxV) MaxV 为出现过的数的最大值。

    AC 代码:

     1 #include <iostream>
     2 #include <cstdio>
     3 #include <cstring>
     4 #include <algorithm>
     5 #include <set>
     6 #include <map>
     7 using namespace std;
     8 #define N 1006
     9 #define MOD 100000007
    10 #define ll long long
    11 ll n;
    12 ll a[N];
    13 ll dp[N][N],g[N][N];
    14 ll gcd(ll x,ll y){
    15    return y==0?x:gcd(y,x%y);
    16 }
    17 void init(){
    18    for(ll i=1;i<=1000;i++){
    19       for(ll j=i;j<=1000;j++){
    20          g[i][j]=g[j][i]=gcd(i,j);
    21       }
    22    }
    23 }
    24 int main()
    25 {
    26     init();
    27     ll t;
    28     scanf("%I64d",&t);
    29     while(t--){
    30        scanf("%I64d",&n);
    31        for(ll i=0;i<n;i++){
    32           scanf("%I64d",&a[i]);
    33        }
    34        memset(dp,0,sizeof(dp));
    35 
    36        for(ll i=0;i<n;i++){
    37           dp[i][a[i]]++;
    38           for(ll j=1;j<=1000;j++){
    39              dp[i+1][j]+=dp[i][j];
    40              dp[i+1][j]%=MOD;
    41 
    42              ll r=g[a[i+1]][j];
    43              dp[i+1][r]+=dp[i][j];
    44              dp[i+1][r]%=MOD;
    45           }
    46        }
    47        ll ans=0;
    48        for(ll i=1;i<=1000;i++){
    49           if(dp[n][i]!=0){
    50              ans+=i*dp[n][i];
    51              ans%=MOD;
    52           }
    53        }
    54        printf("%I64d
    ",ans);
    55     }
    56     return 0;
    57 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/UniqueColor/p/5422807.html
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