递归实现各类枚举

最近按算阶一起写吧，定好小计划；

contest

1.递归实现指数型枚举；

从1~n中任意算出几个数，输出所有可能的方案；

这等价于选或不选，方案数2的n次方；所以递归分支选或不选，将尚未确定的整数数量减少1，从而转化为规模更小的问题；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
vector<int> chosen;
void calc(int x)
{
    if(x==n+1) 
    {
        for(int i=0;i<chosen.size();i++)
            printf("%d ",chosen[i]);
        puts(" ");
        return ;
    }
    //不选x分支；
    calc(x+1);
    //选x分支；
    chosen.push_back(x);//记录x已被选择； 
    calc(x+1);//求解子问题； 
    chosen.pop_back();//准备回溯到上一问题之前，还原现场； 
}
int main()
{
    cin>>n;
    calc(1); 
    return 0;
}

2.递归实现组合型枚举；

从 1~n 这 n 个整数中随机选出 m 个，输出所有可能的选择方案。n>0,  0<=m<=n,  n+(n-m)<=25。

加上一个剪枝，时间复杂度降低（选够m个或剩下都选都不够m个）；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
vector<int> chosen;
void calc(int x)
{
    if(chosen.size()>m||chosen.size()+(n-x+1)<m)
    {
        return ;    
    }
    if(x==n+1) 
    {
        for(int i=0;i<chosen.size();i++)
            printf("%d ",chosen[i]);
        puts(" ");
        return ;
    }    
    //选x分支；
    chosen.push_back(x);//记录x已被选择； 
    calc(x+1);//求解子问题； 
    chosen.pop_back();//准备回溯到上一问题之前，还原现场； 
    calc(x+1);//不选x分支；
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    calc(1); 
    return 0;
}

3.递归实现排列型枚举；

把 1~n 这 n(n<10) 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序。

所谓的全排列问题；n！种方案数，递归中，我们将可用的数作为数列中下一个数，求解剩余n-1个数作为子问题；

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int order[20];//按顺序依次标记被选择的整数；
bool chosen[20];//标记被选择的数；
int n;
void calc(int k)
{
    if(k==n+1)//问题边界；
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%d ",order[i]);
        puts(" ");
        return ;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(chosen[i]) continue;
        order[k]=i;
        chosen[i]=1;
        calc(k+1);
        chosen[i]=0;
        order[k]=0;//可省略；
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    calc(1);
　　 return 0；
}

例题：费解的开关；（指数型枚举）

分析性质

1.每个位置至多被点击一次；

2.若固定第一行（不再改变），则满足的方案数至多有1种；

原因：第i行确定，只有点击i+1行才能使其变为0，；

3.点击的顺序不影响最终的结果，

于是我们考虑第一行，枚举2的五次方=32次；从第一行开始递推，若第i行为1，则点击i+1行的该位置，若到达第n行不全为0，则方案不合法；

枚举第一行，可以采用位运算；

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <bitset>
#include <string>
#include <vector>
#include <complex>
#include <cstring>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <functional>
const int maxn = 5e5 + 100;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int dir[5][2]={0,0,1,0,-1,0,0,1,0,-1};
typedef long long LL;
using namespace std;
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;T f=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-1;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-'0';  ch=getchar();}
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T s) {
    if (s < 0) putchar('-'), s = -s;
    if (s > 9) write(s / 10);
    putchar(s % 10 + '0');
}
int n,ans,res;
int a[20][20],g[20][20];
bool flag;
inline void turn(int x, int y) {
    for (int k = 0; k < 5; ++k)
        g[x + dir[k][0]][y + dir[k][1]] ^= 1;
}

int main() {
    read(n);
    while (n--) {
        for (int i = 1; i <= 5; ++i) {
            for (int j = 1; j <= 5; ++j) {
                char ch;
                cin >> ch;
                a[i][j] = (int)(ch - '0');
            }
        }

        ans = inf;
        for (int k = 1; k <= 32; ++k) {
            for (int i = 1; i <= 5; ++i)
                for (int j = 1; j <= 5; ++j)
                    g[i][j] = a[i][j];

            res = 0;

            for (int i = 0; i < 5; ++i) {
                if ((k >> i) & 1) {
                    ++res;
                    turn(1, i + 1);
                }
            }

            for (int i = 2; i <= 5; ++i) {
                for (int j = 1; j <= 5; ++j) {
                    if (g[i - 1][j] == 0) {
                        ++res;
                        turn(i, j);
                    }
                }
            }

            flag = true;
            for (int i = 1; i <= 5; ++i) {
                if (g[5][i] == 0) {
                    flag = false;
                    break;
                }
            }
            if (flag)
                ans = min(ans, res);
        }
        if (ans > 6) ans = -1;
        write(ans), putchar('
');
    }

    return 0;
}