§4 群-环-域
C1 半群-群
半群
1）二元运算(合成律)：映射
结合：(a*b)*c = a*(b*c)交换：a*b=b*a- 一般地，结合且交换二元运算使用
+,结合二元运算使用*,为记法方便也常省略 - 凯莱表：mij = ai * aj,构成的矩阵
2）代数结构(代数系统)：(X, *)，*为X上二元运算
3）半群：* 运算结合,则称(X,*)为一个半群
4）幺半群：带有单位元的半群
单位元：，单位元若存在则唯一- 幺半群基数即X的基数，若基数有限，称半群为有限幺半群
- 特别地，称为
变换幺半群，其中M(Ω)为任意集合Ω上变换(即自映射)的集合
5）子半群：对二元运算封闭且包含于母群； 子幺半群：包含有母群单位元的子半群
6）广义结合律：n个元素相乘(二元运算意义上)结果与加括号的方式无关
二元运算满足广义结合律(归纳法)
左正规化：从左到右依次加括号，
方幂：xn，由结合律得 xn xm = xm+n, (xn)m = xmn- 若 xy = yx, 则 ， 进一步，若，则
群
7）可逆：,称x可逆，称y为x的逆元，记x-1
- (ab)-1 = b-1a-1
8）群：所有元素可逆的幺半群
- 回顾：上全体置换(双射)构成的群称为
n阶对称群 - 特别地，称可逆实矩阵集，连同矩阵乘法构成的群为上
n阶一般线性群
9）阿贝尔群：交换群
10）子群：对运算封闭，含有逆元，包含于母群，若不相等，称真子群
特别地，称行列式为1的实矩阵群连同矩阵乘法构成的群为上
n阶特殊线性群，或者单位模群,是n阶一般线性群的子群
11）循环群：，称a为生成元，循环群记为
阶：- 无限阶：
- 有限阶：,最小正q称为阶，可证
12）同构：存在同构映射的两个群同构，记为
同构映射：双射f使得，性质：- 逆映射存在且也是一个同构
自同构：G到自身的自同构映射- G上自同构构成S(G)(全体双射群)的一个子群
内自同构群:,元素为,是Aut(G)的一个子群，与G同态
定理：任意两个同阶循环群同构
定理：任意一个n阶有限群同构于n阶对称群的某个子群
证明：
无限群存在同构真子群
13)同态：映射f使得
- 若f是单射，称为单同态；若f是满射，称为满同态
- 核：
- 群到自身的同态映射称自同态
- 回顾：，则符号映射，构成的一个同态 其核为一个阶群，称为交错群
C2 环
1）环：(R,+,·)，满足(R,+)是阿贝尔群，（R,·)是半群，乘法对加法分配
广义环研究中，可能不要求乘法群是半群，称为非结合环
环的单位元：乘法半群的单位元，不一定存在
称为整数环,称为全矩阵环，或n阶方阵环
函数环：- ，为X到任意环R的映射集
- 为逐点加：
- 为逐点乘：
- 单位元：;零元 。均为常函数
- 显然，有界函数环，连续函数环，可微函数环都是其子环
2）子环：R的加法群的子群核乘法半群的子半群构成的环
- 子环交仍是子环
- ，同样，
3）环的性质：
- 广义分配律：，故
- 若环的乘法交换，则满足牛顿二项式公式
- 若则环R中所有元素为0。故非平凡环中，
4）剩余类环：
同余式：模m余数相同称为模m同余，记为，称*同余式剩余类环：- ,称为模m剩余类
- ：模m加法
- ：模m乘法
- 单位元：；零元：
- 方便起见，记w为，甚至记为
称为模m剩余类的导出集,实际上与同构
5）同态：存在同态映射的两个环，记为
- 同态映射：
- 满同态下，
- 核：
6）零因子：
，则a称为
左零因子，b称为右零因子。交换环中简称零因子。0本身称平凡零因子无零因子环：出0外无其它零影子整环：非平凡(1≠0)、无零因子、交换环定理：有单位元非平凡交换环是整环(即无零因子) iff R中消去律成立
- 消去律：
7）可逆：，称a右可逆，b左可逆
定理：无零因子环或者交换环中，左右可逆性相同，左右逆相同
小证：无零因子环中
显然，若R是带单位元的环，则所有可逆元素构成一个乘法群
C3 域
1）除环(斜域)：乘法满足[关于乘法构成一个群]的环。
- 非零元素可逆
- 没有零因子
2）域：交换除环
分式(商、比例式)：记为
3）子域：域P中为域的子环F，称F为子域，P为扩域
4）同构：作为环同构
- 同态：注意到，f一般是单同态
5）定理：剩余类环是域 iff m是素数
- 推论(费马小定理)：(素数)则
6）素域：不包含任何真子域的域
定理：为素域。且
域的特征()：- 若,则特征为0，此时P加法群中1的阶无限
- 若则特征为p，此时P加法群中任意非零元素有阶p