• 【BZOJ】【1211】【HNOI2004】树的计数

    Prufer序列+组合数学

    　　嗯哼~给定每个点的度数！求树的种数！那么很自然的就想到是用prufer序列啦~（不知道prufer序列的……自己再找找资料吧，这里就不放了，可以去做一下BZOJ1005明明的烦恼）

    　　那么我们令每个点的度数v[i]-1，得到每个节点在prufer序中的出现次数！

    　　现在就是求这个prufer序有多少种了……有两种做法：

    　　　　1.多重集排列数：n个元素，每种元素有a[i]个，求全排列的方案数，自己随便yy一下就可以得到$$ans=frac{n!}{prod (a[i]!)}$$

    　　　　　意义就是：n个人全排列的数目是N!，然而对于第一种人，这a[1]个人站的顺序不同也只算一种，所以要除以(a[1]!)，以此类推，得到上述表达式。

     1 /**************************************************************
 2     Problem: 1211
 3     User: ProgrammingApe
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:0 ms
 7     Memory:1288 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 //BZOJ 1211
11 #include<cmath>
12 #include<cstdio>
13 #include<cstring>
14 #include<cstdlib>
15 #include<iostream>
16 #include<algorithm>
17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
20 #define pb push_back
21 using namespace std;
22 typedef long long LL;
23 inline LL getint(){
24     LL r=1,v=0; char ch=getchar();
25     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
26     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
27     return r*v;
28 }
29 const int N=401;
30 /*******************template********************/
31 LL n,m,a[N],ans,fac[N],prime[N],tot;
32 LL b[N];
33 bool vis[N];
34 void ready(int n){
35     F(i,2,n){
36         if (!vis[i]) prime[++tot]=i;
37         F(j,1,tot){
38             if (i*prime[j]>n) break;
39             vis[i*prime[j]]=1;
40             if (i%prime[j]==0) break;
41         }
42     }
43 }
44 void add(int k,int v){
45 //  printf("add %d %d
",k,v);
46     F(i,2,k){
47         int x=i;
48         F(j,1,tot) while(x%prime[j]==0){
49             x/=prime[j];
50             b[j]+=v;
51         }
52     }
53 }
54 int main(){
55 #ifndef ONLINE_JUDGE
56     freopen("tree.in","r",stdin);
57     freopen("tree.out","w",stdout);
58 #endif
59     ready(300);
60     n=getint();
61     if (n==1){
62         a[1]=getint();
63         if (a[1]!=0) {puts("0"); return 0;}
64         else {puts("1"); return 0;}
65     }
66     F(i,1,n){
67         a[i]=getint()-1;
68         if (a[i]<0 || a[i]>n-1) {puts("0"); return 0;}
69         m+=a[i];
70     }
71     if (m!=n-2){puts("0"); return 0;}
72     add(m,1);
73     F(i,1,n) add(a[i],-1);
74     ans=1;
75 
76     F(i,1,tot) 
77         F(j,1,b[i]) ans*=prime[i];
78     printf("%lld
",ans);
79     return 0;
80 }
    View Code(多重集排列数)

    　　　　2.组合数：n个位置，拿出a[1]个放第一种元素，再从剩下的(n-a[1])个里面选出a[2]个……所以有$$ans=prod_{i=1}^{n} inom{a[i]}{n-sum_{j=0}^{i-1}(a[j])} $$

     1 /**************************************************************
 2     Problem: 1211
 3     User: ProgrammingApe
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:4 ms
 7     Memory:1288 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 //BZOJ 1211
11 #include<cmath>
12 #include<cstdio>
13 #include<cstring>
14 #include<cstdlib>
15 #include<iostream>
16 #include<algorithm>
17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
20 #define pb push_back
21 using namespace std;
22 typedef long long LL;
23 inline LL getint(){
24     LL r=1,v=0; char ch=getchar();
25     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
26     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
27     return r*v;
28 }
29 const int N=401;
30 /*******************template********************/
31 LL n,m,a[N],ans,fac[N],prime[N],tot;
32 LL b[N];
33 bool vis[N];
34 void ready(int n){
35     F(i,2,n){
36         if (!vis[i]) prime[++tot]=i;
37         F(j,1,tot){
38             if (i*prime[j]>n) break;
39             vis[i*prime[j]]=1;
40             if (i%prime[j]==0) break;
41         }
42     }
43 }
44 void add(int k,int v){
45 //  printf("add %d %d
",k,v);
46     F(i,2,k){
47         int x=i;
48         F(j,1,tot) while(x%prime[j]==0){
49             x/=prime[j];
50             b[j]+=v;
51         }
52     }
53 }
54 inline void C(int a,int b){ add(a,1); add(b,-1); add(a-b,-1);}
55 int main(){
56 #ifndef ONLINE_JUDGE
57     freopen("tree.in","r",stdin);
58     freopen("tree.out","w",stdout);
59 #endif
60     ready(300);
61     n=getint();
62     if (n==1){
63         a[1]=getint();
64         if (a[1]!=0) {puts("0"); return 0;}
65         else {puts("1"); return 0;}
66     }
67     F(i,1,n){
68         a[i]=getint()-1;
69         if (a[i]<0 || a[i]>n-1) {puts("0"); return 0;}
70         m+=a[i];
71     }
72     if (m!=n-2){puts("0"); return 0;}
73     F(i,1,n) if (a[i]){
74         C(m,a[i]);
75         m-=a[i];
76     }
77     ans=1;
78     F(i,1,tot) 
79         F(j,1,b[i]) ans*=prime[i];
80     printf("%lld
",ans);
81     return 0;
82 }
    View Code(组合数，处理阶乘时枚举每个数，进行分解质因数)
     1 /**************************************************************
 2     Problem: 1211
 3     User: ProgrammingApe
 4     Language: C++
 5     Result: Accepted
 6     Time:0 ms
 7     Memory:1288 kb
 8 ****************************************************************/
 9  
10 //BZOJ 1211
11 #include<cmath>
12 #include<cstdio>
13 #include<cstring>
14 #include<cstdlib>
15 #include<iostream>
16 #include<algorithm>
17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
20 #define pb push_back
21 using namespace std;
22 typedef long long LL;
23 inline LL getint(){
24     LL r=1,v=0; char ch=getchar();
25     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-1;
26     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-'0'+ch;
27     return r*v;
28 }
29 const int N=401;
30 /*******************template********************/
31 LL n,m,a[N],ans,fac[N],prime[N],tot;
32 LL b[N];
33 bool vis[N];
34 void ready(int n){
35     F(i,2,n){
36         if (!vis[i]) prime[++tot]=i;
37         F(j,1,tot){
38             if (i*prime[j]>n) break;
39             vis[i*prime[j]]=1;
40             if (i%prime[j]==0) break;
41         }
42     }
43 }
44 void add(int k,int v){
45 //  printf("add %d %d
",k,v);
46     F(j,1,tot){
47         int x=k;
48         while(x){
49             b[j]+=x/prime[j]*v;
50             x/=prime[j];
51         }
52     }
53 }
54 inline void C(int a,int b){ add(a,1); add(b,-1); add(a-b,-1);}
55 int main(){
56 #ifndef ONLINE_JUDGE
57     freopen("tree.in","r",stdin);
58     freopen("tree.out","w",stdout);
59 #endif
60     ready(300);
61     n=getint();
62     if (n==1){
63         a[1]=getint();
64         if (a[1]!=0) {puts("0"); return 0;}
65         else {puts("1"); return 0;}
66     }
67     F(i,1,n){
68         a[i]=getint()-1;
69         if (a[i]<0 || a[i]>n-1) {puts("0"); return 0;}
70         m+=a[i];
71     }
72     if (m!=n-2){puts("0"); return 0;}
73     F(i,1,n) if (a[i]){
74         C(m,a[i]);
75         m-=a[i];
76 //  F(j,1,4) cout <<prime[j]<<' '<<b[j]<<endl;
77     }
78 //  add(m,1);
79 //  F(i,1,n) add(a[i],-1);
80     ans=1;
81 //  F(j,1,4) cout <<prime[j]<<' '<<b[j]<<endl;
82     F(i,1,tot) 
83         F(j,1,b[i]) ans*=prime[i];
84     printf("%lld
",ans);
85     return 0;
86 }
    View Code(组合数，处理阶乘时直接处理n，分解质因数)

    　　嗯在看代码之前还有几句要说：这题有$nleq 150$，所以直接预处理阶乘是不太现实的……所以在这里我用了分解质因数进行快速乘除（这样做高精乘除快->变成质因子次数的加减，普通高精加减快）

    　　然后也学到了一种快速对阶乘进行因式分解的姿势>_<happy~

    1211: [HNOI2004]树的计数

    Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
    Submit: 1458  Solved: 469
    [Submit][Status][Discuss]

    Description

    一个有n个结点的树，设它的结点分别为v1, v2, …, vn，已知第i个结点vi的度数为di，问满足这样的条件的不同的树有多少棵。给定n，d1, d2, …, dn，编程需要输出满足d(vi)=di的树的个数。

    Input

    第一行是一个正整数n，表示树有n个结点。第二行有n个数，第i个数表示di，即树的第i个结点的度数。其中1<=n<=150，输入数据保证满足条件的树不超过10^17个。

    Output

    输出满足条件的树有多少棵。

    Sample Input

    4
    2 1 2 1

    Sample Output

    2

    HINT

    Source

    组合数学

    [Submit][Status][Discuss]
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  • 原文地址：https://www.cnblogs.com/Tunix/p/4506517.html
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