【BZOJ】【1038】【ZJOI2008】瞭望塔

计算几何/半平面交

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　　说是半平面交，实际上只是维护了个下凸壳而已……同1007水平可见直线

　　对于每条线段，能看到这条线段的点都在这条线段的“上方”，那么对所有n-1条线段求一个可视区域的交，就是求一个半平面交……（好扯）

　　一开始我想的是：直接找到这个下凸壳的最低点，它的y值就是答案辣～但是明显不对>_>这题让求的是塔的最低高度……不光要考虑塔顶，还要看塔底的啊！

　　那么我们怎么找呢？我们可以发现：随着x的变化，塔高（就是地面到凸壳的竖直距离，y坐标之差）是一个分段函数，分段点就是地面的折点以及凸壳的顶点！而且在每一段里面，塔高的值是一个一次函数！经过大胆猜想，小(bu)心(yong)证明我们发现：分段一次函数的极值在分段点和边界点处取到。

　　那么就是对这些点算一下答案就可以了……点数是O(n)的……

/**************************************************************
    Problem: 1038
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:0 ms
    Memory:1292 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 1038
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
using namespace std;
inline int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*sign;
}
const int N=310,INF=~0u>>2;
typedef long long LL;
typedef double lf;
const lf eps=1e-8;
/******************tamplate*********************/
struct Point{
    lf x,y;
    void read(){scanf("%lf%lf",&x,&y);}
}p[N];
struct Line{double k,b;}l[N],st[N];
Line make_line(Point a,Point b){
    Line tmp;
    tmp.k=(a.y-b.y)/(a.x-b.x);
    tmp.b=a.y-tmp.k*a.x;
    return tmp;
}
int n,top;
inline bool cmp(Line a,Line b){
    if (fabs(a.k-b.k)<eps) return a.b<b.b;
    return a.k<b.k;
}
double crossx(Line x1,Line x2){
    return (x2.b-x1.b)/(x1.k-x2.k);
}
void insert(Line a){
    while(top){
        if (fabs(st[top].k-a.k)<eps) top--;
        else if (top>1 && crossx(a,st[top-1])<=
                          crossx(st[top],st[top-1])) top--;
        else break;
    }
    st[++top]=a;
}
lf Up(lf x){
    lf ans=0.0;
    F(i,1,top)
        ans=max(ans,st[i].k*x+st[i].b);
    return ans;
}
lf Down(lf x){
    int pos;
    for(pos=1;pos<n && p[pos+1].x<x;pos++);
    if (pos==n) return -1e10;
    Line tmp=make_line(p[pos],p[pos+1]);
    return tmp.k*x+tmp.b;
}
 
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("1038.in","r",stdin);
    freopen("1038.out","w",stdout);
#endif
    n=getint();
    F(i,1,n) scanf("%lf",&p[i].x);
    F(i,1,n) scanf("%lf",&p[i].y);
    F(i,1,n-1) l[i]=make_line(p[i+1],p[i]);
    sort(l+1,l+n,cmp);
    F(i,1,n-1) insert(l[i]);
    lf ans=1e10;
    F(i,1,n) ans=min(ans,Up(p[i].x)-p[i].y);
    F(i,2,top){
        Point p;
        p.x=crossx(st[i-1],st[i]);
        p.y=st[i].k*p.x+st[i].b;
        ans=min(ans,p.y-Down(p.x));
    }
    printf("%.3lf
",ans);
    return 0;
}

1038: [ZJOI2008]瞭望塔

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
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Description

致 力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长希望建造的塔 高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

Input

第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1 ~ yn。

Output

仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

Sample Input

【输入样例一】
6
1 2 4 5 6 7
1 2 2 4 2 1
【输入样例二】
4
10 20 49 59
0 10 10 0

Sample Output

【输出样例一】
1.000
【输出样例二】
14.500

HINT

对于100%的数据， N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。

Source

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