【HDOJ】【3516】Tree Construction

DP/四边形不等式

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　　这题跟石子合并有点像……

dp[i][j]为将第 i 个点开始的 j 个点合并的最小代价。

易知有 dp[i][j]=min{dp[i][j] , dp[i][k-i+1]+dp[k+1][j-(k-i+1)]+w(i,k,j)}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(这个地方一开始写错了……)

即，将一棵树从k处断开成(i,k)和(k+1,i+j-1)两棵树，再加上将两棵树连起来的两条树枝的长度w(i,k,j)

其中，$ w(i,k,j)=x[k+1]-x[i]+y[k]-y[i+j-1] $

那么根据四边形不等式易知 $s[i][j-1] leq k leq s[i+1][j-1] $

　　如果觉得上面那种不好懂，那我们来看个好懂的：

dp[i][j]表示将第 i 个点到第 j 个点合并的最小代价。

易知有 dp[i][j]=min{ dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w(i,k,j) }

即，将一棵树从k处断开成(i,k)和(k+1,j) 两棵树，再加上将两棵树连起来的两条树枝的长度w(i,k,j)

w(i,k,j)的定义与上同

那么根据四边形不等式易知 $s[i][j-1] leq k leq s[i+1][j] $

　　其实，两种表示方法是一样的，递推时都按照区间长度为阶段进行递推（想一想，第二种中 (i,j-1) 和 (i+1,j) 的长度是不是 都是(i,j)的长度-1？）

　　只是第二种写法的方程看上去好看，也好写……sigh那我写第一种干嘛T_T算了不改了

　　反正基本就是石子合并的原题啦~除了w函数的定义不同……

//HDOJ 3516
#include<cmath>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
#define pb push_back
#define CC(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*sign;
}
const int N=1010,INF=~0u>>2;
const double eps=1e-8;
/*******************template********************/
//#define debug
int x[N],y[N],dp[N][N],s[N][N];
int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt","r",stdin);
//    freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        F(i,1,n) x[i]=getint(),y[i]=getint();
        F(i,1,n){
            dp[i][1]=0;
            s[i][1]=i;
        }
        F(i,1,n-1){
            dp[i][2]=x[i+1]-x[i]+y[i]-y[i+1];
            s[i][2]=i;
        }
        #ifdef debug
        F(i,1,n-1) printf("%d ",dp[i][2]);
        printf("
");
        #endif
        F(j,3,n)
            F(i,1,n-j+1){
                dp[i][j]=INF;
                F(k,s[i][j-1],s[i+1][j-1]){
                    int tmp=y[k]-y[i+j-1]+x[k+1]-x[i]+dp[i][k-i+1]+dp[k+1][j-(k-i+1)];
                    #ifdef debug
                    printf("i=%d k=%d j=%d
",i,k,j);
                    printf("dp[i][k-i+1]=%d dp[k+1][j-k]=%d
",dp[i][k-i+1],dp[k+1][j-k]);
                    #endif
                    if (tmp<dp[i][j]){
                        s[i][j]=k;
                        dp[i][j]=tmp;
                    }
                }
            }
        #ifdef debug
        F(j,1,n){
            F(i,1,n) printf("%d ",dp[i][j]);
            printf("
");
        }
        F(j,1,n){
            F(i,1,n) printf("%d ",s[i][j]);
            printf("
");
        }
        #endif
        printf("%d
",dp[1][n]);
    }
    return 0;
}