【BZOJ】【3503】【CQOI2014】和谐矩阵

高斯消元解Xor方程组

Orz ZYF o(︶︿︶)o 唉我的数学太烂了……

错误思路：对每个格点进行标号，然后根据某5个异或和为0列方程组，高斯消元找自由元……（目测N^3会TLE）

ZYF的正确思路：

如果第一行的数知道了，我们就可以推出其他行的数。

那么如何判断第一行的数的一种填法是否合法呢?很简单，我们递推出m+1行的数，当且仅当这一行都是0时满足题意。

那么，我们就有了一种想法。

直接把m+1行的每个数用x[1..n]表示出来，这一定是个系数只为0/1的式子。然后让这个异或值=0，就可以解异或方程组了。

有个奇怪错误：将long long 直接转成bitset会有位数丢了……只能一位一位往过转= =

/**************************************************************
    Problem: 3503
    User: Tunix
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:56 ms
    Memory:1292 kb
****************************************************************/
 
//BZOJ 3503
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
using namespace std;
int getint(){
    int v=0,sign=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){ if (ch=='-') sign=-1; ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){ v=v*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return v*=sign;
}
/******************tamplate*********************/
const int N=55;
int n,m;
typedef long long LL;
LL b[N][N];
bitset<N>a[N],c[N];
 
void gauss(){//准确的说这是高斯-约当消元法？
    F(i,1,n+1){
        int j=i;
        while(j<=n && !a[j][i]) j++;
        if(j>n) continue;//如果这一位全是0……（自由元）
        if(i!=j) swap(a[i],a[j]);
        F(j,1,n)
            if(i!=j && a[j][i]) a[j]^=a[i];
    }
}
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    m=getint(); n=getint();
     
    F(i,1,n) b[1][i]=(LL)1<<i-1;
 
    F(i,2,m+1)
        F(j,1,n)
            b[i][j]=b[i-1][j]^b[i-1][j-1]^b[i-1][j+1]^b[i-2][j];
    F(i,1,n)
        F(j,1,n)
            a[i][j]=b[m+1][i]>>(j-1)&1;
//      a[i]=b[m+1][i],a[i]<<=1; 这里不能这样直接转bitset，否则会出错sad
 
    //b[m+1][i]的意义是：
    //若使b[m+1][i]为0，则第一行的哪几个异或起来和为0
    gauss();
    D(i,n,1){
        c[1][i]=a[i][n+1];
        if(!a[i][i]){c[1][i]=1; continue;}//令自由元为1（以保证矩阵不全为0）
        F(j,i+1,n) if (a[i][j]) c[1][i]=c[1][i]^c[1][j];
    }//解出第一行的0/1情况
    F(i,2,m)
        F(j,1,n)
            c[i][j]=c[i-1][j]^c[i-1][j-1]^c[i-1][j+1]^c[i-2][j];
    F(i,1,m){
        F(j,1,n-1) cout <<c[i][j]<<" ";
        cout <<c[i][n]<<endl;
    }
    return 0;
}

3503: [Cqoi2014]和谐矩阵

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSec  Special Judge
Submit: 484  Solved: 212
[Submit][Status][Discuss]

Description

我们称一个由0和1组成的矩阵是和谐的，当且仅当每个元素都有偶数个相邻的1。一个元素相邻的元素包括它本
身，及他上下左右的4个元素（如果存在）。
给定矩阵的行数和列数，请计算并输出一个和谐的矩阵。注意：所有元素为0的矩阵是不允许的。

Input

输入一行，包含两个空格分隔的整数m和n，分别表示矩阵的行数和列数。

Output

输出包含m行，每行n个空格分隔整数（0或1），为所求矩阵。测试数据保证有解。

Sample Input

4 4

Sample Output

0100
1110
0001
1101

数据范围
1 <=m, n <=40

HINT

Source

鸣谢Ljcc提供Spj

[Submit][Status][Discuss]