• 4062 -- 【清华集训2012】串珠子


    题目大意

      铭铭有(n)个十分漂亮的珠子和若干根颜色不同的绳子。现在铭铭想用绳子把所有的珠子连接成一个整体。

      现在已知所有珠子互不相同,用整数(1)(n)编号。对于第(i)个珠子和第(j)个珠子,可以选择不用绳子连接,或者在(c_{i,j})根不同颜色的绳子中选择一根将它们连接。如果把珠子看作点,把绳子看作边,将所有珠子连成一个整体即为所有点构成一个连通图。特别地,珠子不能和自己连接。

      铭铭希望知道总共有多少种不同的方案将所有珠子连成一个整体。由于答案可能很大,因此只需输出答案对(1000000007)取模的结果。

    题目分析

    考场上想到求补集,但依然毫无思路啊。

    (g[S])表示点集为(S),连通状态任意的方案数,(f[S])表示点集为(S)且都与(1)号节点连通的方案数。那么状态转移方程为:

    (f[S]=g[S]-sumlimits_{Gsubsetneqq S}f[G] imes g[Goplus S])

    解释一下方程,即:枚举点集为(S)的真子集(G)(1)号节点连通,(G oplus S)(1)号节点不连通(其内部连通状态任意),这样的方案数和即为所有点集为(S)(1)号节点不连通的方案数(sum),补集思想转换一下(g[S]-sum)即为(f[S])

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int mod=1e9+7;
    int n,c[16][16],f[1<<16],g[1<<16],Lg[1<<16];
    int lowbit(int x){return x&-x;}
    int main(){
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i=0;i<n;i++)
    		for(int j=0;j<n;j++)
    			scanf("%d",&c[i][j]);
    	for(int i=0;i<n;i++)Lg[1<<i]=i;
    	for(int i=1;i<(1<<n);i++){
    		static int st[17];
    		int top=0;
    		for(int j=i;j;j-=lowbit(j))st[++top]=Lg[lowbit(j)];
    		int ans=1;
    		for(int j=1;j<top;j++)
    			for(int k=j+1;k<=top;k++)
    				ans=1ll*ans*(c[st[j]][st[k]]+1)%mod;
    		g[i]=ans;
    	}
    	for(int i=1;i<(1<<n);i++){
    		int ans=0;
    		for(int s=(i-1)&i;s;s=(s-1)&i){
    			if((i^s)&1)ans=(ans+1ll*f[i^s]*g[s])%mod;
    		}
    		f[i]=(g[i]-ans)%mod;
    	}
    	cout<<(f[(1<<n)-1]+mod)%mod<<"
    ";
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Trrui/p/9692705.html
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