XVI.「SWTR-03」Counting Trees
说起来他们那场比赛还找我帮忙验了这题来着的，然后我\(50\%\)暴力都不会
先说结论：任何度数之和等于\(2m-2\)的\(m\)个节点，都可以构成至少一颗树。该结论可以通过一个名叫prufer序列的神奇玩意证出。
于是我们现在就有这样的判别式：
\[\sum\limits_{i=1}^md_i=2m-2
\]
我们将\(2m\)移到左边，就得到了
\[\sum\limits_{i=1}^md_i-2=-2
\]
好像是背包的样子呢！跟上题差不多嘛。
但是这题与上题有两个最大的不同点：
-
这里背包元素大小可能为负（因为减二了），并且目标结果也为负。
-
这题是01背包，而上题是完全背包。
（1）是比较好处理的，因为如果为负的话，只有可能为\(-1\)；于是我们可以挑出所有正的\(d_i-2\)跑一个01背包。则\(d_i-2=0\)的所有数，无论选不选都不影响和，故最终结果直接乘上一个\(2^{buc_0}\)即可；而\(-1\)的话，只需要枚举选择了多少个\(-1\)，然后答案就是\(\sum\limits_{i=2}^{buc_{-1}}\dbinom{buc_{-1}}{i}\times g_{i-2}\)。
关键是（2）。
我们发现此时的\(f(x)=1+x^v\)，而我们最终要求的仍是\(\sum\limits_{i=1}^n\ln f(x)\)。
于是观察\(\ln f(x)\)。
套用\(f\)的定义，它等于
\[\ln(1+x^v)
\]
求导再积分回去，得到
\[\int\dfrac{vx^{v-1}}{x^v+1}
\]
考虑\((x^v+1)^{-1}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-x^v)^i\)
所以代回去，最终得到
\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}(-1)^{i-1}x^{vi}\)
然后就是上题内容了。
代码：
#pragma GCC optimize(3)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int mod=998244353;
const int G=3;
int ksm(int x,int y){
int rt=1;
for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
return rt;
}
int n,m,f[N],g[N],all,INV[N],FAC[N],buc[N],_0,_1,res;
namespace Poly{
int rev[N];
void NTT(int *a,int tp,int LG){
int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int md=1;md<lim;md<<=1){
int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
int w=1;
for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
a[pos+i]=(x+y)%mod;
a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//using: Array A and B
int lim=(1<<LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,-1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void inv(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
b[0]=ksm(a[0],mod-2);
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
mul(b,a,C,k);
for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
(C[0]+=2)%=mod;
mul(C,b,b,k);
}
}
void diff(int *a,int *b,int lim){
for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
b[lim-1]=0;
}
void inte(int *a,int *b,int lim){
for(int i=lim-1;i;i--)b[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
b[0]=0;
}
void ln(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
inv(a,b,LG);
diff(a,C,1<<LG);
mul(b,C,b,LG+1);
inte(b,b,1<<LG);
}
void exp(int *a,int *b,int LG){//using: Array D
b[0]=1;
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
ln(b,D,k-1);
for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)D[i]=(a[i]-D[i]+mod)%mod;
D[0]=(D[0]+1)%mod;
mul(b,D,b,k);
}
}
}
using namespace Poly;
int BIN(int x,int y){return 1ll*FAC[x]*INV[y]%mod*INV[x-y]%mod;}
int main(){
scanf("%d",&n);
while((1<<all)<=n)all++;
INV[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)INV[i]=(-1ll*(mod/i)*INV[mod%i]%mod+mod)%mod;
for(int i=1,x;i<=n;i++){
scanf("%d",&x),x-=2;
if(x==-1)_1++;
else if(x==0)_0++;
else buc[x]++;
}
for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1,x;i*j<=n;j++)x=1ll*buc[i]*INV[j]%mod,(f[i*j]+=(j&1)?x:mod-x)%=mod;
exp(f,g,all);
FAC[0]=INV[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)FAC[i]=1ll*FAC[i-1]*i%mod,INV[i]=1ll*INV[i-1]*INV[i]%mod;
for(int i=0;i+2<=_1;i++)(res+=1ll*g[i]*BIN(_1,i+2)%mod)%=mod;
res=1ll*res*ksm(2,_0)%mod;
printf("%d\n",res);
return 0;
}