XI.CF438E The Child and Binary Tree
经 典 老 题
我们可以设一个\(G\)，其中\(G_x=[\exists\ i\ \text{s.t.}\ c_i=x]\)，即是否存在\(x\)这个值。
我们再设\(F_x\)表示权值为\(x\)的二叉树的方案数。很明显有\(F_0=1\)。
则我们枚举树根的权值以及左右子树的权值，于是
\[F_x=\sum\limits_{i=1}^xG_i\sum\limits_{j=0}^{x-i}F_{j}F_{x-i-j}
\]
很明显这是卷积的形式，所以有
\[F=GF^2+1
\]
其中\(+1\)是因为\(F_0=1\)。
于是这是二元一次方程的形式，所以
\[F=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4G}}{2G}
\]
但是这有个问题，求逆的前提是\(G_0\neq 1\)，但是分母上的\(2G\)显然不满足这一条件。
于是我们尝试化简，例如分子有理化。
上下同乘\(1\mp\sqrt{1-4G}\)，得到
\[F=\dfrac{2}{1\mp\sqrt{1-4G}}
\]
因为求逆要求\(G_0\neq1\)，所以分母上只能保留\(+\)的情况，于是
\[F=\dfrac{2}{1+\sqrt{1-4G}}
\]
大功告成。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
int n,m,f[N],g[N],all;
namespace Poly{
const int mod=998244353;
const int G=3;
int rev[N];
int ksm(int x,int y){
int rt=1;
for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
return rt;
}
void NTT(int *a,int tp,int LG){
int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int md=1;md<lim;md<<=1){
int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
int w=1;
for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
a[pos+i]=(x+y)%mod;
a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int A[N],B[N],C[N],D[N],E[N];
void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//using: Array A and B
int lim=(1<<LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,-1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void inv(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
b[0]=ksm(a[0],mod-2);
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
mul(b,a,C,k);
for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
(C[0]+=2)%=mod;
mul(C,b,b,k);
}
}
void diff(int *a,int *b,int lim){
for(int i=0;i<lim;i++)b[i]=1ll*a[i+1]*(i+1)%mod;
b[lim-1]=0;
}
void inte(int *a,int *b,int lim){
for(int i=lim-1;i;i--)b[i]=1ll*a[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
b[0]=0;
}
void sqrt(int *a,int *b,int LG){//using:arrays D&E
b[0]=1;
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)D[i]=(b[i]<<1)%mod;
inv(D,E,k-1);
mul(b,b,b,k);
for(int i=0;i<(1<<(k-1));i++)(b[i]+=a[i])%=mod;
mul(b,E,b,k);
}
}
}
using namespace Poly;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,x;i<=n;i++)scanf("%d",&x),g[x]=mod-4;
g[0]++;
while((1<<all)<=m)all++;
sqrt(g,f,all);
f[0]++;
inv(f,g,all);
for(int i=1;i<=m;i++)printf("%d\n",(g[i]<<1)%mod);
return 0;
}