XI.[集训队作业2013]城市规划
各类计数问题是多项式最常见的场景。
这里有一个套路，就是设\(f(x)\)为合法个数，\(g(x)\)为全部个数，然后往往\(g\)可以被\(f\)与\(g\)表示出来，且\(g\)本身有通项公式，然后就可以简单求解了。
例如这题。我们设\(f(x)\)为联通图个数，\(g(x)\)为全部无向图个数。
则我们枚举有多少个节点和\(1\)号点在同一个连通块里面，于是就有
\[g(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)g(n-i)\times C_{n-1}^{i-1}
\]
我们将\(C_{n-1}^{i-1}\)拆开，就得到了
\[g(n)=\sum\limits_{i=1}^nf(i)g(n-i)\times\dfrac{(n-1)!}{(n-i)!\times(i-1)!}
\]
老套路，整理得
\[\dfrac{g(n)}{(n-1)!}=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{f(i)}{(i-1)!}\times\dfrac{g(n-i)}{(n-i)!}
\]
于是我们设\(F_i=\dfrac{g(i)}{(i-1)!}\)，\(G_i=\dfrac{g(i)}{i!}\)，\(H_i=\dfrac{f(i)}{(i-1)!}\)，然后就有
\[F=GH
\]
即
\[H=F^{-1}G
\]
显然\(g(x)\)是很好求的——它就等于\(2^{C_n^2}\)，于是\(F\)与\(G\)也很好求，然后\(H\)就直接求逆再乘一下即可。
很久以后添加：注意到 \(\int G=H\)，于是除过去就会发现其实际上就有 \(F=\ln G\)，这个信息在之后也会用到
则我们答案即为\(H_n\times(n-1)!\)。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
int n,m,all,f[N],g[N],fac[N],inv[N],invf[N];
namespace Poly{
const int mod=1004535809;
const int G=3;
int rev[N];
int ksm(int x,int y){
int rt=1;
for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
return rt;
}
void NTT(int *a,int tp,int LG){
int lim=(1<<LG),invlim=ksm(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int md=1;md<lim;md<<=1){
int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
int w=1;
for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
a[pos+i]=(x+y)%mod;
a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
int A[N],B[N],C[N];
void mul(int *a,int *b,int *c,int LG){//using: Array A and B
int lim=(1<<LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT(A,1,LG),NTT(B,1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,-1,LG);
for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
void Inv(int *a,int *b,int LG){//using: Array C
b[0]=ksm(a[0],mod-2);
for(int k=1;k<=LG+1;k++){
mul(b,a,C,k);
for(int i=0;i<(1<<k);i++)C[i]=(mod-C[i])%mod;
(C[0]+=2)%=mod;
mul(C,b,b,k);
}
}
}
using namespace Poly;
int main(){
scanf("%d",&n),fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
for(int i=n-1;i>=0;i--)inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%mod;
for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=1ll*ksm(2,(1ll*i*(i-1)>>1)%(mod-1))*inv[i]%mod;
for(int i=1;i<=n;i++)g[i]=1ll*ksm(2,(1ll*i*(i-1)>>1)%(mod-1))*inv[i-1]%mod;
while((1<<all)<=n)all++;
Inv(f,invf,all);
mul(invf,g,f,all+1);
printf("%d\n",1ll*f[n]*fac[n-1]%mod);
return 0;
}