II.【模板】多项式乘法逆
\(F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^n)\)?这是啥意思?
实际上,它的意思就是\(F\times G\)的\(1\sim n\)次幂的系数都为\(0\),只有常数项为\(1\),再往上的系数不管。
我们考虑递推求解。
设我们已经求出了使\(F\times G\equiv1(\operatorname{mod} x^m)\)成立的一个\(G\),我们现在要求出\(\operatorname{mod}2m\)成立的另一个\(G\)。设\(g\)表示第一个\(G\)。
我们已知
又有
则显然,
于是
\(F\)除过去,就有
两边平方,于是
拆开,得到
我们想尽量消去\(G\),于是两边乘上\(F\),就有
因为\(FG\equiv 1\),所以
移过去,就有
稍微合并一下
这样我们就可以从\(g\)转移到\(G\)了,只需要两次NTT乘法即可。
\(g\)的初始值为\((F_0)^{-1}\),即\(F_0\)的逆元。然后,不断按照上式倍长长度,直到长度达到\(F\)的二倍即可(这个二倍是因为\(F\times G\)的长度是\(2n\))。
我们分析一下复杂度。它为\(\sum\limits_{i=2^k,i<2n}i\log i\)。
我们换成枚举\(\log i\),就变成了\(\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^ii\)。
我们考虑适当的放缩,它可以变成\(\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^i\left\lceil\log n\right\rceil\)。
因为\(\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil\log n\right\rceil}2^i\)实际上就等于\(2^{\left\lceil\log n\right\rceil+1}-1\approx n\)
所以它实际复杂度就是\(O(n\log n)\)的。
代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<20;
const int G=3;
const int mod=998244353;
int n,f[N],g[N],rev[N],lim=1,LG,h[N],invlim,A[N],B[N];
int ksm(int x,int y){
int rt=1;
for(;y;x=(1ll*x*x)%mod,y>>=1)if(y&1)rt=(1ll*rt*x)%mod;
return rt;
}
void NTT(int *a,int tp){
for(int i=0;i<lim;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int md=1;md<lim;md<<=1){
int rt=ksm(G,(mod-1)/(md<<1));
if(tp==-1)rt=ksm(rt,mod-2);
for(int stp=md<<1,pos=0;pos<lim;pos+=stp){
int w=1;
for(int i=0;i<md;i++,w=(1ll*w*rt)%mod){
int x=a[pos+i],y=(1ll*w*a[pos+md+i])%mod;
a[pos+i]=(x+y)%mod;
a[pos+md+i]=(x-y+mod)%mod;
}
}
}
if(tp==-1)for(int i=0;i<lim;i++)a[i]=(1ll*a[i]*invlim)%mod;
}
void mul(int *a,int *b,int *c){
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=B[i]=0;
for(int i=0;i<(lim>>1);i++)A[i]=a[i],B[i]=b[i];
NTT(A,1),NTT(B,1);
for(int i=0;i<lim;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,-1);
for(int i=0;i<lim;i++)c[i]=A[i];
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&f[i]);
g[0]=ksm(f[0],mod-2);
while(lim<(n<<1)){
lim<<=1,LG++,invlim=ksm(lim,mod-2);
for(int i=0;i<lim;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(LG-1));
mul(f,g,h);
for(int i=0;i<lim;i++)h[i]=(mod-h[i])%mod;
(h[0]+=2)%=mod;
mul(h,g,g);
}
for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",g[i]);puts("");
return 0;
}