• [HAOI2006]数字序列


    XXVIII.[HAOI2006]数字序列

    第一问:

    正难则反。我们考虑从这个序列中找出最多可以保留的数。

    如果两个下标\(i,j(i<j)\)都是要保留的,那么保留的充要条件就是

    \(a_j-a_i\geq j-i\)

    因为\((i,j)\)开区间中的其它数要保证仍然有可以修改到的位置。例如 10 4 3 12 这组数据中,1012便不能同时选择,因为43要有修改的位置。

    上面式子调换一下,便是

    \(a_j-j\geq a_i-i\)

    \(a_i-i=b_i\),则

    \(b_j\geq b_i\)便是充要条件。

    当我们找出了完整的\(b\)数组后,发现\(b\)中的最长不降子序列便是可以保留的位置。

    然后第一问答案就是\(n-\text{b中LIS的长度}\)

    第二问:

    实际上就是让\(b\)中LIS的长度为\(n\)

    考虑在第一问中找出的一条LIS上修改(注意LIS很有可能不止一条)。

    我们在LIS中找出相邻的两个下标\(j,i(j<i)\)

    则一组合法的修改结果肯定是一个“台阶”形。

    我们发现,对于一段“台阶”:

    如果它向下的箭头比向上的箭头要多,那么台阶上移一定不会更劣。反之亦然。

    比如上图最左端那级台阶,就是上移下移都可以;中间的台阶,向上移更优;右面的台阶,向下移最好。

    这样我们就可以构思出一种移台阶的方法:

    对于一段台阶,如果它向上最好,则一直向上移直到和右边的下一段台阶齐平。然后合并两段台阶,再对新生成的这段台阶进行类似的操作。这种操作一定不会使答案变差。

    则全部移完后,我们发现原本一小段一小段的台阶,要么同左边合并了,要么同右边合并了,反正最后一定是左边与左端点有一段台阶,右边与右端点有一段台阶。我们可以枚举左右台阶间的断点取\(\min\)

    这样我们就可以DP了。设\(f_i\)表示以\(i\)结尾的LIS的长度,\(g_i\)表示将\([1,i]\)中所有台阶全都移完,且\(i\)是某条LIS中的一个位置时的最小代价。显然,\(g_i\)能从所有\(j<i,b_j<b_i,f_j=f_i-1\)\(j\)转移过来。如果令\(b_0=-\infty,b_{n+1}=+\infty,f_0=0,f_{n+1}=\max\limits_{i=1}^{n}\{f_i\}+1\)的话,则答案为\(g_{n+1}\)

    在极端数据下,这种暴力转移复杂度是\(O(n^3)\)的(枚举\(i\)\(O(n)\)的,枚举\(j\)在极端数据下是\(O(n)\)的,枚举断点也是\(O(n)\)的)。但是,“数据随机”让这个算法的期望复杂度优化成了\(O(n\log^2n)\),轻松通过。

    代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int INF=1e6;
    int n,a[50100],b[50100],f[50100],t[50100],lim,mx,g[50100],pre[50100],suf[50100];
    vector<int>v;
    void add(int x,int val){
    	while(x<=lim)t[x]=max(t[x],val),x+=x&-x;
    }
    int ask(int x){
    	int qwq=0;
    	while(x)qwq=max(qwq,t[x]),x-=x&-x;
    	return qwq;
    }
    vector<int>q[50100];
    int main(){
    	scanf("%d",&n);
    	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-i,v.push_back(b[i]);
    	sort(v.begin(),v.end()),v.resize(unique(v.begin(),v.end())-v.begin()),lim=v.size();
    	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=lower_bound(v.begin(),v.end(),b[i])-v.begin()+1;
    	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=ask(b[i])+1,add(b[i],f[i]),mx=max(mx,f[i]);
    	for(int i=1;i<=n;i++)b[i]=a[i]-i;
    	printf("%d\n",n-mx);
    	q[0].push_back(0);
    	memset(g,0x3f3f3f3f,sizeof(g));
    	b[0]=-INF;
    	b[n+1]=INF;
    	g[0]=0;
    	f[n+1]=mx+1;
    	for(int i=1;i<=n+1;i++){
    		q[f[i]].push_back(i);
    		for(auto j:q[f[i]-1]){
    			if(b[j]>b[i])continue;
    //			printf("%d %d:\n",j,i);
    			pre[j]=suf[i]=0;
    			for(int k=j+1;k<i;k++)pre[k]=pre[k-1]+abs(b[k]-b[j]);
    			for(int k=i-1;k>j;k--)suf[k]=suf[k+1]+abs(b[k]-b[i]);
    //			for(int k=j;k<i;k++)printf("%d ",pre[k]);puts("");
    //			for(int k=j+1;k<=i;k++)printf("%d ",suf[k]);puts("");
    			for(int k=j;k<i;k++)g[i]=min(g[i],g[j]+pre[k]+suf[k+1]);
    		}		
    	}
    //	for(int i=0;i<=n+1;i++)printf("%9d ",f[i]);puts("");
    //	for(int i=0;i<=n+1;i++)printf("%9d ",b[i]);puts("");
    //	for(int i=0;i<=n+1;i++)printf("%9d ",g[i]);puts("");
    	printf("%d\n",g[n+1]);
    	return 0;
    } 
    

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/Troverld/p/14597048.html
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