XI.[SHOI2007]书柜的尺寸
排序是各类DP题中只要出现了物品这个意象后的常客。
我们首先将书按照高度递减排序。这样，一个书柜的高度，就是第一本被放进来的书的高度。
设\(f[i][j][k]\)表示：DP到第\(i\)本书，第一层书架的长度为\(j\)，第二层书架的长度为\(k\)时，整个书柜的最小高度。设\(sum[i]\)表示所有书厚度的前缀和。
我们枚举这本书到底是放入第一层、第二层还是第三层（第三层长度为\(sum[i]-j-k\)）。
转移分几种情况：
-
当\(j=0\)，即第一层为空时，应该加上\(h[i]\)。
-
当\(k=0\)，应该加上\(h[i]\)。
-
当\(j+k=sum[i]\)，应该加上\(h[i]\)。
答案就是枚举\(f[n][?][?]\)统计答案即可。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[2][2110][2110],n,sum[110];
typedef long long ll;
ll res=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
pair<int,int>p[100];
bool cmp(pair<int,int>x,pair<int,int>y){
return x.first>y.first;
}
int main(){
scanf("%d",&n),memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&p[i].first,&p[i].second);
sort(p+1,p+n+1,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+p[i].second;
f[0][0][0]=0;
for(int i=0;i<n;i++){
memset(f[!(i&1)],0x3f3f3f3f,sizeof(f[!(i&1)]));
for(int j=0;j<=sum[i];j++)for(int k=0;j+k<=sum[i];k++){
f[!(i&1)][j+p[i+1].second][k]=min(f[!(i&1)][j+p[i+1].second][k],f[i&1][j][k]+p[i+1].first*(!j));
f[!(i&1)][j][k+p[i+1].second]=min(f[!(i&1)][j][k+p[i+1].second],f[i&1][j][k]+p[i+1].first*(!k));
f[!(i&1)][j][k]=min(f[!(i&1)][j][k],f[i&1][j][k]+p[i+1].first*(!(sum[i]-j-k)));
}
}
for(int i=1;i<sum[n];i++)for(int j=1;i+j<sum[n];j++)res=min(res,1ll*max(max(i,j),sum[n]-i-j)*f[n&1][i][j]);
printf("%d\n",res);
return 0;
}