梯度下降算法

　　在求解机器学习算法的模型参数，即无约束优化问题时，梯度下降（Gradient Descent）是最常采用的方法之一，另一种常用的方法是最小二乘法。这里就对梯度下降法做一个完整的总结。

　　一、梯度

　　在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数，求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)^T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。对于在点(x₀,y₀)的具体梯度向量就是(∂f/∂x₀, ∂f/∂y₀)^T.或者▽f(x₀,y₀)，如果是3个参数的向量梯度，就是(∂f/∂x, ∂f/∂y，∂f/∂z)^T,以此类推。

　　那么这个梯度向量求出来有什么意义呢？他的意义从几何意义上讲，就是函数变化增加最快的地方。具体来说，对于函数f(x,y),在点(x₀,y₀)，沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x₀, ∂f/∂y₀)^T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的最大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -(∂f/∂x₀, ∂f/∂y₀)^T的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的最小值。

　　二、梯度下降与梯度上升

　　在机器学习算法中，在最小化损失函数时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数，和模型参数值。反过来，如果我们需要求解损失函数的最大值，这时就需要用梯度上升法来迭代了。

　　梯度下降法和梯度上升法是可以互相转化的。比如我们需要求解损失函数f(θ)的最小值，这时我们需要用梯度下降法来迭代求解。但是实际上，我们可以反过来求解损失函数 -f(θ)的最大值，这时梯度上升法就派上用场了。

　　三、梯度下降算法

　　梯度下降算法可以看做是一个下山的过程，我们不知道如何下山，于是决定走一步算一步，没走一步都计算一下当前位置的梯度，然后沿着梯度的负方向，迈出下一步。就这样一步一步的走下去，直至走到山脚下，但是还可能会走到一个局部的山峰低谷。

　　从上面可以看出梯度下降算法不一定会得到全局最优解，还可能会得到局部最优解。当损失函数是凸函数时，梯度下降算法一定会得到全局最优解。

　　3.1梯度下降算法的一些相关概念

　　（1）步长（learning rate）：步长决定了在梯度下降迭代的过程中，每一步沿梯度负方向前进的长度。用上面下山的例子，步长就是在当前这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走的那一步的长度。

　　（2）特征（feature）：指的是样本中输入部分，比如2个单特征的样本（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）（x(0),y(0)）,（x(1),y(1)）,则第一个样本特征为x(0)x(0)，第一个样本输出为y(0)y(0)。

　　（3）假设函数（hypothesis function）：在监督学习中，为了拟合输入样本，而使用的假设函数，记为hθ(x)hθ(x)。比如对于单个特征的m个样本（x(i),y(i)）(i=1,2,...m)（x(i),y(i)）(i=1,2,...m),可以采用拟合函数如下： hθ(x)=θ0+θ1xhθ(x)=θ0+θ1x。

　　（4） 损失函数（loss function）：为了评估模型拟合的好坏，通常用损失函数来度量拟合的程度。损失函数极小化，意味着拟合程度最好，对应的模型参数即为最优参数。在线性回归中，损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。比如对于m个样本（xi,yi）(i=1,2,...m)（xi,yi）(i=1,2,...m),采用线性回归，损失函数为：

　　J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)2J(θ0,θ1)=∑i=1m(hθ(xi)−yi)2

　　其中xixi表示第i个样本特征，yiyi表示第i个样本对应的输出，hθ(xi)hθ(xi)为假设函数。

　　4 不同的梯度下降算法　

4.1 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）

　　　　批量梯度下降法，是梯度下降法最常用的形式，具体做法也就是在更新参数时使用所有的样本来进行更新，这个方法对应于前面3.3.1的线性回归的梯度下降算法，也就是说3.3.1的梯度下降算法就是批量梯度下降法。　　

　　　　θi=θi−α∑j=0m(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)−yj)x(j)iθi=θi−α∑j=0m(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))−yj)xi(j)

　　　　由于我们有m个样本，这里求梯度的时候就用了所有m个样本的梯度数据。

4.2 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）

　　　　随机梯度下降法，其实和批量梯度下降法原理类似，区别在与求梯度时没有用所有的m个样本的数据，而是仅仅选取一个样本j来求梯度。对应的更新公式是：

　　　　θi=θi−α(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)−yj)x(j)iθi=θi−α(hθ(x0(j),x1(j),...xn(j))−yj)xi(j)

　　　　随机梯度下降法，和4.1的批量梯度下降法是两个极端，一个采用所有数据来梯度下降，一个用一个样本来梯度下降。自然各自的优缺点都非常突出。对于训练速度来说，随机梯度下降法由于每次仅仅采用一个样本来迭代，训练速度很快，而批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度不能让人满意。对于准确度来说，随机梯度下降法用于仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解很有可能不是最优。对于收敛速度来说，由于随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。

　　　　那么，有没有一个中庸的办法能够结合两种方法的优点呢？有！这就是4.3的小批量梯度下降法。

4.3 小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）

　　小批量梯度下降法是批量梯度下降法和随机梯度下降法的折衷，也就是对于m个样本，我们采用x个样子来迭代，1<x<m。一般可以取x=10，当然根据样本的数据，可以调整这个x的值。对应的更新公式是：

　　　　θi=θi−α∑j=tt+x−1(hθ(x(j)0,x(j)1,...x(j)n)−yj)x(j)i