在主流STL版本中,set,map,都是BST实现的,具体来说是一种称为红黑树的动态平衡BST;
但是在竞赛中并不常用,因为红黑树过于复杂,他的插入 5 种,删除 6 中,代码量极大(如果你要改板子的话);
相比之下有一种Treap的动态平衡BST,却也可以做到插入,删除,查找的期望时间复杂度O(logn);
结点定义:
struct Node { Node *ch[2]; int r; //优先级 int v; //值 int s; //结点总数 Node(int v):v(v) { ch[0] = ch[1] = NULL; r = rand(); s = 1; } bool operator < (const Node& rhs) const { return r < rhs.r; } int cmp(int x) const { if(x==v) return -1; return x < v ? 0:1; } void maintain() { s = 1; if(ch[0]!=NULL) s +=ch[0]->s; if(ch[1]!=NULL) s +=ch[1]->s; } };
我这里加了一些看似不需要的东西s,而这个 s却是Treap相比BST的闪光点!!!
动态平衡二叉树 BST 的性质 v,值,根大于左子树,小于右子树; cmp函数,插入,删除时,小于 v,返回 0;
r : 堆的性质,大根堆,根优先级最高;
旋转操作是一个坎,虽然不难,但是好多书籍上面感觉欲言又止;
左旋: 由于 堆的性质,可能使得 BST 不对(插入,删除),需要旋转,比如说,o点的优先级小于 k 点的优先级,要左旋,(大于,相反)
这个时候要是还想满足BST的性质,只需要改动几个点,就ok了。
//旋转 void rotate(Node* &o,int d) { Node* k = o->ch[d^1]; o->ch[d^1] = k->ch[d]; k->ch[d] = o; o->maintain(); k->maintain(); o = k; }
同时,maintain函数,要重新统计节点数。
插入操作;
首先按照普通的BST递归插入;
插入后,发现,此时的堆性质已经不满足了;要进行递归旋转!!!
//插入 void insert(Node* &o,int x) { if(o==NULL) o = new Node(x); else { int d = (x< o->v?0:1); //可能有相同的元素要插入 insert(o->ch[d],x); if(o->ch[d]->r > o->r) rotate(o,d^1); } o->maintain(); }
同样,每次递归到一层,重新维护节点信息;
删除操作:
首先递归找到这个结点;
这个结点如果左子树为空,或者右子树为空,很好解决;相反的子树代替父节点;
要是两者都有怎么解决?保持堆的性质 和 BST的性质?
先不急于删去点,首先比较一下左右子树的优先级,把优先级较高的子树旋转到根;
例如上图中,加入 k 较高,右旋到左边的图;然后递归删除 k ,这样就保证了整个Treap树的性质!!!
//删除 void remove(Node* &o,int x) { int d = o->cmp(x); if(d==-1) { Node* u = o; if(o->ch[0]!=NULL&&o->ch[1]!=NULL) { int d2 = (o->ch[0]->r > o->ch[1]->r ? 1 : 0); rotate(o,d2); remove(o->ch[d2],x); } else { if(o->ch[0]==NULL) o = o ->ch[1]; else o = o ->ch[0]; } } else { remove(o->ch[d],x); } if(o!=NULL) o->maintain(); }
注意:插入,删除,的时候没有去检查,可以先去检查了一下,这样就完全和set是一样的了
int find(Node* o,int x) { while(o!=NULL) { int d = o->cmp(x); if(d==-1) return 1; //存在 else o = o->ch[d]; } return 0; //不存在 }
到了这里就已经完全实现了Treap树了,很happy(^o^)/~
但是:
如果说,Treap树和 set 是一样的,那就没必要写 Treap了,举个栗子!
名次树!!!
个人柑橘往左子树走很巧妙, (^-^)V
利用右子树有多少节点而往左子树走;
//名次树 Node* root[maxn]; //第 k 大的值 int kth(Node* o,int k) { if(o==NULL||k<=0||k>o->s) return 0; int s = (o->ch[1]==NULL ? 0: o->ch[1]->s); if(k==s+1) return o->v; else if(k<=s) return kth(o->ch[1],k); else return kth(o->ch[0],k-s-1); }