LeetCode 25.最长上升子序列 动态规划

题目描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。
说明:

可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

解题思路

状态定义：

dp[i]dp[i] 的值代表 nums 前 ii 个数字的最长子序列长度。
转移方程： 设 j∈[0,i)j∈[0,i)，考虑每轮计算新 dp[i]dp[i] 时，遍历 [0,i)[0,i) 列表区间，做以下判断：

当 nums[i] > nums[j]nums[i]>nums[j] 时： nums[i]nums[i] 可以接在 nums[j]nums[j] 之后（此题要求严格递增），此情况下最长上升子序列长度为 dp[j] + 1dp[j]+1 ；
当 nums[i] <= nums[j]nums[i]<=nums[j] 时： nums[i]nums[i] 无法接在 nums[j]nums[j] 之后，此情况上升子序列不成立，跳过。
上述所有 1. 情况 下计算出的 dp[j] + 1dp[j]+1 的最大值，为直到 ii 的最长上升子序列长度（即 dp[i]dp[i] ）。实现方式为遍历 jj 时，每轮执行 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)。
转移方程： dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。
初始状态：

dp[i]dp[i] 所有元素置 11，含义是每个元素都至少可以单独成为子序列，此时长度都为 11。
返回值：

返回 dpdp 列表最大值，即可得到全局最长上升子序列长度。
复杂度分析：
时间复杂度 O(N^2)O(N
2
) ： 遍历计算 dpdp 列表需 O(N)O(N)，计算每个 dp[i]dp[i] 需 O(N)O(N)。
空间复杂度 O(N)O(N) ： dpdp 列表占用线性大小额外空间。

作者：jyd
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/zui-chang-shang-sheng-zi-xu-lie-dong-tai-gui-hua-2/
来源：力扣（LeetCode）

代码如下

class Solution {
  public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length==0) {
            return 0;
        }
        
        int max=Integer.MIN_VALUE;
        int[] dp=new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j]<nums[i]) {
                    dp[i]=Math.max(dp[i], dp[j]+1);
                }
            }
        }
        Arrays.sort(dp);
         return dp[dp.length-1];

        }
}