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前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)
介绍
前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值
,即数学表达式的求职
中缀表达式
简介
中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6
前缀表达式
简介
前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前
比如:- × + 3 4 5 6
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
-
例如:- × + 3 4 5 6
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
将中缀表达式转换为前缀表达式
转换步骤如下:
- 初始化两个栈:运算符栈s1，储存中间结果的栈s2
- 从右至左扫描中缀表达式
- 遇到操作数时，将其压入s2
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级
- 如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈
- 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
- 遇到括号时
- 如果是右括号“)”，则直接压入s1
- 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
- 重复步骤2至5，直到表达式的最左边
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式
例如:1+((2+3)×4)-5具体过程，如下表
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
| - | 5 | - | s1为空，运算符直接入栈 |
| ) | 5 | -) | 右括号直接入栈 |
| 4 | 5 4 | -) | 数字直接入栈 |
| x | 5 4 | -)x | s1栈顶是右括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | -)x) | 右括号直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | -)x) | 数字 |
| + | 5 4 3 | -)x)+ | s1栈顶是右括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | -)x)+ | 数字 |
| ( | 5 4 3 2 + | -)x | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
| ( | 5 4 3 2 + x | - | 同上 |
| + | 5 4 3 2 + x | -+ | 优先级与-相同，入栈 |
| 1 | 5 4 3 2 + x 1 | -+ | 数字 |
| 到达最左端 | 5 4 3 2 + x 1 + - | 空 | s1剩余运算符 |
结果是:- + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式
简介
后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后
比如:3 4 + 5 × 6 -
后缀表达式计算机求值
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
- 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
- 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
- 将5入栈；
- 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
- 将6入栈；
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式
与转换为前缀表达式相似，步骤如下：
- 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压s2；
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
- 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入s1；
- 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | s2(栈底->栈顶) | s1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| + | 1 | + | s1为空，运算符直接入栈 |
| ( | 1 | + ( | 左括号，直接入栈 |
| ( | 1 | + ( ( | 同上 |
| 2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
| + | 1 2 | + ( ( + | s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
| ) | 1 2 3 + | + ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| × | 1 2 3 + | + ( × | s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
| ) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
| 到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | s1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”
代码实现：
1 public class Operation { 2 private static int ADDITION=1; 3 private static int SUBTRACTION=1; 4 private static int MULTIPLICATION=2; 5 private static int DIVISION=2; 6 7 public static int getValue(String operation){ 8 int result; 9 switch (operation){ 10 case "+": 11 result=ADDITION; 12 break; 13 case "-": 14 result=SUBTRACTION; 15 break; 16 case "*": 17 result=MULTIPLICATION; 18 break; 19 case "/": 20 result=DIVISION; 21 break; 22 default: 23 // System.out.println("不存在该运算符"); 24 result=0; 25 } 26 return result; 27 } 28 } 29 30 31 32 public class PolishNotation { 33 34 public static void main(String[] args) { 35 Scanner sc=new Scanner(System.in); 36 System.out.println("请输入运算表达式:"); 37 String expressionStr=sc.nextLine(); 38 // System.out.println(expressionStr); 39 List<String> zx= toInfixExpression(expressionStr); 40 List<String> rpn=parseSuffixExpression(zx); 41 String rpnStr=""; 42 for(String str:rpn){ 43 rpnStr+=str; 44 } 45 System.out.println(rpnStr); 46 47 System.out.println("计算结果:"+ calculate(rpn)); 48 } 49 50 /** 51 * 把字符串转换成中序表达式 52 * @param s 53 * @return 54 */ 55 public static List<String> toInfixExpression(String s) { 56 List<String> ls = new ArrayList<String>();//存储中序表达式 57 int i = 0; 58 String str; 59 char c; 60 do { 61 if ((c = s.charAt(i)) < 48 || (c = s.charAt(i)) > 57) { 62 ls.add("" + c); 63 i++; 64 } else { 65 str = ""; 66 while (i < s.length() && (c = s.charAt(i)) >= 48 67 && (c = s.charAt(i)) <= 57) { 68 str += c; 69 i++; 70 } 71 ls.add(str); 72 } 73 74 } while (i < s.length()); 75 return ls; 76 } 77 78 /** 79 * 转换成逆波兰表达式 80 * @param ls 81 * @return 82 */ 83 public static List<String> parseSuffixExpression(List<String> ls) { 84 Stack<String> s1=new Stack<String>(); 85 Stack<String> s2=new Stack<String>(); 86 List<String> lss = new ArrayList<String>(); 87 for (String ss : ls) { 88 if (ss.matches("\d+")) { 89 lss.add(ss); 90 } else if (ss.equals("(")) { 91 s1.push(ss); 92 } else if (ss.equals(")")) { 93 94 while (!s1.peek().equals("(")) { 95 lss.add(s1.pop()); 96 } 97 s1.pop(); 98 } else { 99 while (s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(ss)) { 100 lss.add(s1.pop()); 101 } 102 s1.push(ss); 103 } 104 } 105 while (s1.size() != 0) { 106 lss.add(s1.pop()); 107 } 108 return lss; 109 } 110 111 /** 112 * 通过逆波兰表达式计算结果 113 * @param ls 114 * @return 115 */ 116 public static int calculate(List<String> ls) { 117 Stack<String> s=new Stack<String>(); 118 for (String str : ls) { 119 if (str.matches("\d+")) { 120 s.push(str); 121 } else { 122 int b = Integer.parseInt(s.pop()); 123 int a = Integer.parseInt(s.pop()); 124 int result=0; 125 if (str.equals("+")) { 126 result = a + b; 127 } else if (str.equals("-")) { 128 result = a - b; 129 } else if (str.equals("*")) { 130 result = a * b; 131 } else if (str.equals("\")) { 132 result = a / b; 133 } 134 s.push("" + result); 135 } 136 } 137 System.out.println(s.peek()); 138 return Integer.parseInt(s.pop()); 139 } 140 }