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从 https://codeforces.com/blog/entry/76447 里面抄一个代数做法。

考虑朴素 dp：记 (f_{i, j} = f_{i - 1, j} + (j + a_i) imes f_{i - 1, j - 1})，不太好做。

做变换 (g_{i, j} = f_{i, i - j})，并记 (b_i = a_i + i)，则有 (g_{i,j} = g_{i - 1, j - 1} + (b_i - j) imes g_{i - 1, j})。

其对应的 OGF 满足 (G_i = x(G_{i - 1} - G'_{i - 1}) + b_iG_{i - 1})。

根据高中数学，我们可以构造 (H_i = G_ie^{-x})，则有 (H_i = b_iH_{i-1} - xH'_{i-1})。

注意算子 (vartheta = xfrac{d}{dx}) 只和本位系数有关，也就是说有 (h_{n, j} = h_{0, j} imesprod_i(b_i - j) = frac{(-1)^j}{j!} imesprod_i(b_i - j))。

之后可以分治 fft 算出 (B(x) = prod_i(b_i - x))，然后多点求值求出 (H_n)。

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但是在本题中我们只需要算 (sum_i g_{n, i})，是否有更好的方法？

我们知道：

[egin{aligned} g_{n,m} &= sum_j frac{(-1)^j}{j!} imesprod_i(b_i - j) imesfrac{1}{(m-j)!} \ &= sum_p B_p imesleft(sum_j frac{(-1)^j}{j!} imes j^{n-p} imesfrac{1}{(m-j)!} ight) \ end{aligned} ]

其中 (B_p = [x^p]prod_i(b_i - x))，一样分治 fft 算出。

考虑将 (j^{n - p}) 展开成下降幂形式：

[egin{aligned} & sum_j frac{(-1)^j}{j!} imes j^{n-p} imesfrac{1}{(m-j)!} \ =& sum_{k}{n - prace k} imesleft(sum_j frac{(-1)^j}{j!} imesinom{j}{k} imes k! imesfrac{1}{(m-j)!} ight) \ =& sum_{k}{n - prace k} imesleft(frac{sum_jinom{m-k}{j-k }(-1)^j}{(m-k)!} ight) \ =& (-1)^m{n - prace m} end{aligned} ]

则 (sum_i g_{n, i} = sum_p B_p imes left(sum_i(-1)^i{n - prace i} ight))。接下来只需要计算 (s_{n-p} = sum_i(-1)^i{n - prace i})。

继续用代数做法。设出 EGF：(S(x) = sumfrac{s_i}{i!}x^i)。代入：

[egin{aligned} S(x) =& sum_{i}frac{sum_m(-1)^m{irace m}}{i!}x^i \ =& sum_m(-1)^mleft(sum_{i}frac{{irace m}}{i!}x^i ight) \ =& sum_m(-1)^mfrac{(e^x-1)^m}{m!} \ =& exp(1-e^x)\ end{aligned} ]

做个多项式 exp 即可求出。这真的更优秀吗。