@description@
给定两棵 N 个点的树，以及树上每条边的权值 w(u, v)，每个点的初始点权 val(u)。
有 Q 次操作。每次操作更改一个点的点权，请在每次操作后输出 (max_{1 le u < v le n}{T_1.dis(u,v)+T_2.dis(u,v)+val(u)+val(v)})。
Input
多组数据。
每组数据以 N, Q (2≤N≤10^5,1≤Q≤10^5) 开头，含义如上。
接下来第二行包含 N 个整数 a1, a2, ..., aN (1≤ai≤10^9) 描述每个点的初始点权。
接下来 N-1 行，每行包含三个整数 u, v, w (1≤u,v≤n,1≤w≤10^9) 描述第一棵树上的边。
接下来 N-1 行，每行包含三个整数 u, v, w (1≤u,v≤n,1≤w≤10^9) 描述第二棵树上的边。
接下来 Q 行，每行包含两个整数 u, w(1≤u≤n,1≤w≤10^9) 描述将 u 的点权更改为 w。
Output
对于每组数据，输出 Q 行。每行表示每次更改点权后的答案。
Sample Input
5 3
1 2 3 4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
1 5 4
1 2 1
1 3 2
1 4 3
1 5 4
1 100
1 1
2 100
Sample Output
113
23
115
@solution@
考虑没有修改的时候，我们应该怎么做。
因为是两棵树的两点距离之和，可以考虑类比 WC2018 中通道一题，使用边分治来解决。
具体来说，我们对 T1 进行边分治，每一次处理经过中心边的路径。
处理出 f[i] 表示点 i 离当前中心边的距离，令 w 表示当前中心边的权值，则 T1.dis(u, v) = f[u] + f[v] + w（这里要求 u, v 处在中心边的两侧）。
则我们需要最大化的 T1.dis(u, v) + T2.dis(u, v) + val(u) + val(v) = T2.dis(u, v) + (f[u] + val(u)) + (f[v] + val(v)) + w。
因为 w 是个常数，我们只需要最大化前面那一部分。
可以考虑建边 u' -> u，边权为 f[u] + val(u)，因此将问题转为 T2.dis(u', v') 最大（当然实际操作时并不需要真的建出 u' -> u 这条边）。
我们有结论：若从点集 S 中选择一个端点、从点集 T 中选择另一个端点使得两个端点距离最远，则这两个端点一定在 S 中距离最远的两个端点、T 中距离最远的两个端点中两两配对产生。
于是每次加入一个点，维护一下 S 中的直径端点、T 中的直径端点即可。
现考虑修改。我们不妨依照边分治的分治顺序，建出边分树。其中，边分树上的叶结点为原树的点、非叶结点为原树的边（有些类似于 kruskal 重构树），非叶结点连向这个结点表示的中心边的两侧连通块。
这样，每次加入一个点权时，只需要顺着边分树从上往下走，顺便更新沿途的非叶结点的值（就是上文说的 S 直径，T 直径）就可以快速维护出答案。因为边分治的性质，边分树深度为 O(logn)，于是加入一个点权的复杂度为 O(logn)。
但是可以看到上述过程并不支持删除，但可以撤回。
所以我们考虑维护出每种点权出现的时间区间，然后使用线段树分治。这样就只剩下在边分树上插入和撤回两种操作了，时间复杂度 O(nlog^2n)。
@accepted code@
#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int MAXN = 200000;
int lg[MAXN + 5];
struct Graph{
struct edge{
edge *nxt, *rev;
int to, dis;
bool tag;
}edges[2*MAXN + 5], *adj[MAXN + 5], *ecnt;
int dfn[2*MAXN + 5], fir[MAXN + 5], dep[MAXN + 5], dcnt;
ll dis[MAXN + 5];
void init(int n) {
ecnt = &edges[0];
for(int i=1;i<=n;i++)
adj[i] = NULL;
dcnt = 0;
}
void addedge(int u, int v, int w) {
// printf("! %d %d %d
", u, v, w);
edge *p = (++ecnt), *q = (++ecnt);
p->to = v, p->dis = w, p->tag = false, p->nxt = adj[u], adj[u] = p;
q->to = u, q->dis = w, q->tag = false, q->nxt = adj[v], adj[v] = q;
p->rev = q, q->rev = p;
}
void dfs(int x, int f, ll d) {
dfn[++dcnt] = x, fir[x] = dcnt, dep[x] = dep[f] + 1, dis[x] = d;
for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) {
if( p->to == f ) continue;
dfs(p->to, x, d + p->dis);
dfn[++dcnt] = x;
}
}
int st[20][MAXN + 5];
void get_st() {
for(int i=1;i<=dcnt;i++)
st[0][i] = dfn[i];
for(int j=1;j<20;j++) {
int t = (1<<(j-1));
for(int i=1;i+t<=dcnt;i++)
st[j][i] = (dep[st[j-1][i]] <= dep[st[j-1][i+t]]) ? st[j-1][i] : st[j-1][i+t];
}
}
void build() {dfs(1, 0, 0), get_st();}
int lca(int u, int v) {
if( fir[u] > fir[v] ) swap(u, v);
int k = lg[fir[v] - fir[u] + 1], l = (1<<k);
return (dep[st[k][fir[u]]] <= dep[st[k][fir[v]-l+1]]) ? st[k][fir[u]] : st[k][fir[v]-l+1];
}
ll dist(int u, int v) {return dis[u] + dis[v] - 2*dis[lca(u, v)];}
}G1, G2, G3;
struct query{
int l, r, x, k;
query(int _l=0, int _r=0, int _x=0, int _k=0):l(_l), r(_r), x(_x), k(_k) {}
}qry[MAXN + 5];
int a[MAXN + 5], b[MAXN + 5];
int N, Q, M, tot = 0;
void rebuild(int x, int f) {
int lst = -1;
for(Graph::edge *p=G1.adj[x];p;p=p->nxt) {
if( p->to == f ) continue;
rebuild(p->to, x);
if( lst == -1 ) {
G3.addedge(x, p->to, p->dis);
lst = x;
}
else {
int s = (++M);
G3.addedge(s, p->to, p->dis);
G3.addedge(lst, s, 0);
lst = s;
}
}
}
bool arr[30][MAXN + 5]; ll dis[30][MAXN + 5];
Graph::edge *e[MAXN + 5]; int ch[2][MAXN + 5], cnt = 0;
int siz[MAXN + 5];
void update(Graph::edge *&a, Graph::edge *b, int tot) {
if( a == NULL ) a = b;
if( b && max(siz[b->to], tot-siz[b->to]) <= max(siz[a->to], tot-siz[a->to]) )
a = b;
}
Graph::edge *get_mid_edge(int x, int f, int tot) {
Graph::edge *ret = NULL; siz[x] = 1;
for(Graph::edge *p=G3.adj[x];p;p=p->nxt) {
if( p->tag || p->to == f ) continue;
update(ret, get_mid_edge(p->to, x, tot), tot);
siz[x] += siz[p->to];
update(ret, p, tot);
}
return ret;
}
void dfs(int x, int f, bool t, ll d, const int &dep) {
arr[dep][x] = t, dis[dep][x] = d;
for(Graph::edge *p=G3.adj[x];p;p=p->nxt) {
if( p->tag || p->to == f ) continue;
dfs(p->to, x, t, d + p->dis, dep);
}
}
int divide(int x, int tot, int dep) {
Graph::edge *m = get_mid_edge(x, 0, tot);
if( m == NULL ) return -1;
int tmp = (++cnt); e[tmp] = m;
m->tag = m->rev->tag = true;
dfs(m->to, 0, 0, 0, dep), dfs(m->rev->to, 0, 1, 0, dep);
ch[0][tmp] = divide(m->to, siz[m->to], dep + 1);
ch[1][tmp] = divide(m->rev->to, tot-siz[m->to], dep + 1);
return tmp;
}
void init() {
G1.init(2*N), G2.init(2*N), G3.init(2*N);
for(int i=2;i<=2*N;i++)
lg[i] = lg[i>>1] + 1;
cnt = tot = 0;
}
pair<pii, pii>res[MAXN + 5];
ll nwans = 0;
struct modify{
bool type; pii a; int b;
modify(bool _t=0, pii _a=make_pair(0,0), int _b=0):type(_t), a(_a), b(_b) {}
}stk[32*MAXN + 5];
int tp;
void restore(int x) {
while( tp > x ) {
modify p = stk[tp--];
if( p.type == 0 ) res[p.b].fi = p.a;
if( p.type == 1 ) res[p.b].se = p.a;
}
}
ll func(const int &x, const int &y, const int &d, const int &p) {
return dis[d][x] + dis[d][y] + e[p]->dis + a[x] + a[y] + G2.dist(x, y);
}
void insert(int x, int k) {
a[x] = k; int p = 1, d = 0;
while( p != -1 ) {
if( arr[d][x] ) {
stk[++tp] = modify(1, res[p].se, p);
if( res[p].se.fi ) {
ll _p = func(res[p].se.fi, x, d, p), _q = func(res[p].se.se, x, d, p), _r = func(res[p].se.fi, res[p].se.se, d, p);
if( _p >= _q && _p >= _r )
res[p].se.se = x;
else if( _q >= _p && _q >= _r )
res[p].se.fi = x;
else tp--;
}
else res[p].se = make_pair(x, x);
if( res[p].fi.fi )
nwans = max(nwans, max(func(x, res[p].fi.fi, d, p), func(x, res[p].fi.se, d, p)));
}
else {
stk[++tp] = modify(0, res[p].fi, p);
if( res[p].fi.fi ) {
ll _p = func(res[p].fi.fi, x, d, p), _q = func(res[p].fi.se, x, d, p), _r = func(res[p].fi.fi, res[p].fi.se, d, p);
if( _p >= _q && _p >= _r )
res[p].fi.se = x;
else if( _q >= _p && _q >= _r )
res[p].fi.fi = x;
else tp--;
}
else res[p].fi = make_pair(x, x);
if( res[p].se.fi )
nwans = max(nwans, max(func(x, res[p].se.fi, d, p), func(x, res[p].se.se, d, p)));
}
p = ch[arr[d][x]][p], d++;
}
}
void solve(int le, int ri, int n) {
if( n == 0 ) return ;
int tmp = tp; ll tmp2 = nwans;
for(int i=n;i>=1;i--)
if( qry[i].l <= le && ri <= qry[i].r ) {
swap(qry[i], qry[n]);
insert(qry[n].x, qry[n].k);
n--;
}
if( le == ri ) {
printf("%lld
", nwans);
restore(tmp); nwans = tmp2;
return ;
}
int mid = (le + ri) >> 1, m = 0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if( qry[i].l > mid || qry[i].r < le ) continue;
swap(qry[i], qry[++m]);
}
solve(le, mid, m);
m = 0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
if( qry[i].l > ri || qry[i].r < mid + 1 ) continue;
swap(qry[i], qry[++m]);
}
solve(mid + 1, ri, m);
restore(tmp); nwans = tmp2;
}
int read() {
int x = 0; char ch = getchar();
while( ch > '9' || ch < '0' ) ch = getchar();
while( '0' <= ch && ch <= '9' ) x = 10*x + ch - '0', ch = getchar();
return x;
}
void solve() {
init();
for(int i=1;i<=N;i++)
a[i] = read(), b[i] = 1;
for(int i=1;i<N;i++) {
int u = read(), v = read(), w = read();
G1.addedge(u, v, w);
}
for(int i=1;i<N;i++) {
int u = read(), v = read(), w = read();
G2.addedge(u, v, w);
}
for(int i=1;i<=Q;i++) {
int u = read(), w = read();
qry[++tot] = query(b[u], i - 1, u, a[u]);
a[u] = w, b[u] = i;
}
for(int i=1;i<=N;i++)
qry[++tot] = query(b[i], Q, i, a[i]);
M = N, rebuild(1, 0);
divide(1, M, 0);
G2.build();
solve(1, Q, tot);
}
int main() {
while( scanf("%d%d", &N, &Q) == 2 )
solve();
}
@details@
我不知道为什么我常数那么大，没加 O2 就 T，即使加了 O2 时限 15s 跑了 14s 多一点。。。
反正这种题考了几遍就基本成套路了（指边分治）。。。