2018icpc沈阳-K.Let the Flames Begin (约瑟夫环问题)

题意：

转化为经典约瑟夫环问题：

N个人围成一圈，从第一个开始报数，第K个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。例如N=6，M=5，被杀掉的顺序是：5，4，6，2，3，1。

然后现在给出 N（标号1~N）个人，每隔K个将要被杀掉，问第 M 个被杀掉的 标号是多少。（与顺时针或者逆时针无关）。

思路：

基础递推原理可以参考下

博客：https://www.cnblogs.com/jjscm/p/4463555.html

2019.11.28：发现之前自己当时写的有很多问题没有弄清楚

首先约瑟夫环的递推公式（可以模拟一下递归，先到只剩下最后一个人，然后每一次往前一个状态回递推，求得这个人所在位置–注意这个递推公式求得是当前状态序列的位置下标

即约瑟夫环通过递推，从最后的状态得到最初的状态。而由于要问第M个被杀掉的是谁，所以我们的初始状态不是从只剩下最后一人开始(长度为1)，而是从(n-m+1)状态（还剩下n-m+1个人）开始

而根据约瑟夫环递推式：(表示N个人，第M个出队的人位置） f[n][m] = (f[n-1][m-1] + k)%n; 所以转换后为 f[n-m+i] = (f[n-m+i-1] + k) % (n - m + i);

由于题中数据大小为：1 ≤ n, m, k ≤ 10¹⁸，以及min{m,k} 总和不超过 2 × 10⁶，m >= n.

所以对于 m 较大的数（会发现模数大部分情况下远大于kk，即要移动 x次（x很大），才会走完一圈），也就是说可以用乘法代替多次加法。

f[a][b] = ans , f[a+x][b+x] = ans + k *x; 而进行取模的条件为：ans + k*x >= a+x （移动长度大于剩下的人的个数）即 x >= (a - ans) / (k-1) ;

然后剩余对 K = 1的特判情况，直接是 M 出队。

于时转换为代码如下：

code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

int main() {
    int cas = 1;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--) {
        ll n,m,k;
        ll f;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
        printf("Case #%d: ",cas++);
        if(m <= k) {
            f = k % (n - m + 1);
            if(f == 0) f = n - m + 1;
            for(ll i = 2; i <= m; i++)
                f = (f + k) % (n - m + i);
            printf("%lld
",f);
        } else {
            if(k == 1) printf("%lld
",m);
            else {
                ll a = n - m + 1, b = 1;
                ll f = k % a, x = 0;
                if(f == 0) f = a;
                while(b + x <= m) {
                    a += x, b += x, f += k * x;
                    f %= a;
                    if(f == 0) f = a;
                    x = (a - f) / (k - 1) + 1;
                }
                f += (m - b) * k;
                f %= n;
                if(f == 0) f = n;
                printf("%lld
",f);
            }
        }
    }
    return 0;
}