SG函数学习笔记

概念

一.必胜态与必败态

1. 必胜态(N),最优策略下谁面临此状态谁必赢。
2. 必败态(P),最优策略下谁面临此状态谁必输。

二.SG函数

1. mex运算：定义为求最小的不属于此集合的非负整数。
2. SG(x)中x表示状态。x是必败态当且仅当SG(x) = 0;
3. 令 S 为所有x走一步可以到达的状态（必须合法）。那么有$SG(x) = mex(SG(y))(y ∈ S) $
4. 可以暴力求骗分，主要是打表找规律

三.SG定理

1. 游戏和的 SG 函数就是所有子游戏的 SG 函数的异或和，其中所有子游戏互相独立。
2. 所以先手必胜当且仅当每堆石子的 SG 函数的异或和不为 0。

例题

取火柴游戏

分析

1. 由SG定理判断初始状态，设SG = a1^a2a3^...an.如果SG == 0就lose
2. 如果必胜,假设是a1中某些被取走，就令a1变成a'。有a'^a2a3^...an = 0 = SG ^ SG = SG^a1a2^a3...^an;
3. 所以SG^a1 = a'.且必有a1 > a';
4. 所以一旦有SG^ai < ai,就是在第i堆取走ai - SG^ai个。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define ll long long
#define rint register int
#define mid  ((L + R) >> 1)
using namespace std;
template <typename xxx> inline void read(xxx &x) {
	char c = getchar(),f = 1;x = 0;
	for(;c ^ '-' && !isdigit(c);c = getchar());
	if(c == '-') c = getchar(),f = -1;
	for(;isdigit(c);c = getchar()) x = (x<<1) + (x<<3) + (c ^ '0');
	x *= f;
}
template<typename xxx>void print(xxx x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int maxn = 500010;
const int inf = 0x7fffffff;
const int mod = 1e9 + 7;
int SG;
int n,a[maxn];
int main()
{
	read(n);
	for(rint i = 1;i <= n; ++i) read(a[i]),SG ^= a[i];
	if(!SG) {//当前即是必败态
		printf("lose
");
		return 0; 
	} 
	for(rint i = 1;i <= n; ++i) {
		if((SG ^ a[i]) < a[i]) {
			printf("%d %d
",a[i] - (SG ^ a[i]),i);
			for(rint j = 1;j <= n; ++j) {
				if(i ^ j) print(a[j]);
				else print(a[i] ^ SG);
				putchar(' ');
			}
			return 0;
		}	
	}
	return 0;
}

G - Game of Cards

分析

暴力求解SG函数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<bitset>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define ll long long
#define rint register int
#define mid  ((L + R) >> 1)
using namespace std;
template <typename xxx> inline void read(xxx &x) {
	char c = getchar(),f = 1;x = 0;
	for(;c ^ '-' && !isdigit(c);c = getchar());
	if(c == '-') c = getchar(),f = -1;
	for(;isdigit(c);c = getchar()) x = (x<<1) + (x<<3) + (c ^ '0');
	x *= f;
}
template<typename xxx>void print(xxx x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int maxn = 1010;
const int inf = 0x7fffffff;
const int mod = 1e9 + 7;
int n,m,k;
int a[maxn];
int SG[maxn];
bitset<maxn>tem;
inline int solve() {
	for(rint i = 1;i <= n; ++i) {//枚举SG[x]的x
		SG[i] = 0;//初始化
		tem.reset();
		for(rint j = 0;j <= k && j < i; ++j) {//枚举可以转移的先前状态
			if(i - j - a[i - j] >= 0) {
				tem[SG[i - j - a[i - j]]] = 1;
			}
		}
		for(rint j = 0;; ++j) {
			if(!tem[j]) {//找最小非负整数
				SG[i] = j;
				break; 
			}
		} 
	}
	return SG[n];
}
int main()
{
	int t;
	read(t);read(k);
	int ans = 0;
	while(t--) {
		read(n);
		for(rint i = 1;i <= n; ++i) read(a[i]);
		ans ^= solve();
	}
	if(ans) printf("Alice can win.");
	else printf("Bob will win.");
	return 0;
}

HDU-1730

分析

观察发现距离为0时SG[0] = 0,可以考虑以距离做nim游戏；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define ll long long
#define rint register int
#define mid  ((L + R) >> 1)
using namespace std;
template <typename xxx> inline void read(xxx &x) {
	char c = getchar(),f = 1;x = 0;
	for(;c ^ '-' && !isdigit(c);c = getchar());
	if(c == '-') c = getchar(),f = -1;
	for(;isdigit(c);c = getchar()) x = (x<<1) + (x<<3) + (c ^ '0');
	x *= f;
}
template<typename xxx>void print(xxx x)
{
    if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int maxn = 100010;
const int inf = 0x7fffffff;
const int mod = 1e9 + 7;
int n,m;
int ti,ji;
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m)) {
		int ans = 0;
		for(rint i = 1;i <= n; ++i) {
			read(ti);
			read(ji);
			ans ^=(int)(abs(ti - ji) - 1);
		}
		if(ans) printf("I WIN!
");
		else printf("BAD LUCK!
");
	}
	return 0;
}