高斯消元法解整数（同余）线性方程组模板（含无解、无穷解的判断）

解整数线性方程组

整数线性方程组，即求出变量全是整数的一组解

转载自

http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6880199.html

/* 用于求整数解得方程组. */

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

const int maxn = 105;

int equ, var; // 有equ个方程，var个变元。增广阵行数为equ, 分别为0到equ - 1，列数为var + 1，分别为0到var.
int a[maxn][maxn];
int x[maxn]; // 解集.
bool free_x[maxn]; // 判断是否是不确定的变元.
int free_num;

inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while (b != 0)
    {
        t = b;
        b = a % b;
        a = t;
    }
    return a;
}

inline int lcm(int a, int b)
{
    return a * b / gcd(a, b);
}

// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
int Gauss(void)
{
    int i, j, k;
    int max_r; // 当前这列绝对值最大的行.
    int col; // 当前处理的列.
    int ta, tb;
    int LCM;
    int temp;
    int free_x_num;
    int free_index;
    // 转换为阶梯阵.
    col = 0; // 当前处理的列.
    for (k = 0; k < equ && col < var; k++, col++)
    { // 枚举当前处理的行.
        // 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)
        max_r = k;
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        {
            if (abs(a[i][col]) > abs(a[max_r][col])) max_r = i;
        }
        if (max_r != k)
        { // 与第k行交换.
            for (j = k; j < var + 1; j++) swap(a[k][j], a[max_r][j]);
        }
        if (a[k][col] == 0)
        { // 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.
            k--; continue;
        }
        for (i = k + 1; i < equ; i++)
        { // 枚举要删去的行.
            if (a[i][col] != 0)
            {
                LCM = lcm(abs(a[i][col]), abs(a[k][col]));
                ta = LCM / abs(a[i][col]), tb = LCM / abs(a[k][col]);
                if (a[i][col] * a[k][col] < 0) tb = -tb; // 异号的情况是两个数相加.
                for (j = col; j < var + 1; j++)
                {
                    a[i][j] = a[i][j] * ta - a[k][j] * tb;//既消元，又通分
                }
            }
        }
    }
    // 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).
    for (i = k; i < equ; i++)
    { // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.
        if (a[i][col] != 0) return -1;
    }
    // 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.
    // 且出现的行数即为自由变元的个数.
    if (k < var)
    {
        // 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.
        for (i = k - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.
            // 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.
            free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;
            }
            if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.
            // 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.
            temp = a[i][var];
            for (j = 0; j < var; j++)
            {
                if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];
            }
            x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.
            free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.
        }
        return var - k; // 自由变元有var - k个.
    }
    // 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.
    // 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.
    for (i = var - 1; i >= 0; i--)
    {
        temp = a[i][var];
        for (j = i + 1; j < var; j++)
        {
            if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.
        x[i] = temp / a[i][i];
    }
    return 0;
}

int main(void)
{
      int i,j;
    while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF)
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
          memset(x, 0, sizeof(x));
           memset(free_x, 1, sizeof(free_x)); // 一开始全是不确定的变元.
        for (i = 0; i < equ; i++)
        {
            for (j = 0; j < var + 1; j++)
            {
                scanf("%d", &a[i][j]);
            }
        }
        free_num = Gauss();
        if (free_num == -1) printf("无解!
");
           else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!
");
        else if (free_num > 0)
        {
            printf("无穷多解! 自由变元个数为%d
", free_num);
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的
", i + 1);
                else printf("x%d: %d
", i + 1, x[i]);
            }
        }
        else
        {
            for (i = 0; i < var; i++)
            {
                printf("x%d: %d
", i + 1, x[i]);
            }
        }
        printf("
");
    }
    return 0;
}

解整数同余线性方程组

同上，只需要注意取模，乘逆元即可

int gauss()
{
    int equ=n,var=m;
    int i,j,k;
    int max_r,col;
    int ta,tb,lcm;
    int tmp;
    for(k=0,col=0;k<equ && col<var;++k,++col)
    {
        max_r=k;
        for(i=k+1;i<equ;++i)
            if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;
        if(!a[max_r][col]) { --k; continue; }
        if(k!=max_r) 
            for(j=col;j<var+1;++j) swap(a[k][j],a[max_r][j]);
        for(i=k+1;i<equ;++i)
            if(a[i][col])
            {
                lcm=getlcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));
                ta=lcm/abs(a[i][col]);
                tb=lcm/abs(a[k][col]);
                if(a[i][col]*a[k][col]<0) tb=-tb;
                for(j=col;j<var+1;++j) a[i][j]=((a[i][j]*ta-a[k][j]*tb)%mod+mod)%mod;
            }
    }
    for(int i=k;i<equ;++i) 
        if(a[i][var]) return -1;
    if(k<var) return var-k;
    for(int i=var-1;i>=0;--i)
    {
        tmp=a[i][var];
        for(j=i+1;j<var;++j)
            if(a[i][j]) 
            {
                tmp-=a[i][j]*x[j];
                tmp=(tmp%mod+mod)%mod;
            }
        x[i]=tmp*inv[a[i][i]]%mod;
    }
    return 0;
}