bzoj 2818: Gcd

2818: Gcd

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2818

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Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

hint

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

Source

湖北省队互测

gcd(x,y)=p，则gcd（x/p，y/p）=1

法一：欧拉函数

枚举每个素数p，那么该素数p对答案的贡献为[1,n/p]中的有序互质对的个数

求[1,m]中有序互质对（i，j）的个数：

令j>=i

当i=j时，只有i=j=1互质；

当i<j时，确定j后，互质的个数为φ（j）；

所以[1,m]中有序互质对个数=（Σ φ（j））*2-1

                                         j 

所以，欧拉筛筛出欧拉函数，求前缀和sum

ans=    Σ   sum[n/p]*2-1

       p为素数，p<=n

 耗时：980ms

#include<cstdio>
#define N 10000001
int prime[N],cnt,phi[N];
long long ans,sum[N];
bool v[N];
int n;
void euler()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            v[i]=true;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]*i>n) break;
            v[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    euler();
    for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=sum[n/prime[i]]*2-1;
    printf("%lld",ans);
}

法二、莫比乌斯函数

枚举每个素数p，那么该素数p对答案的贡献为[1,n/p]中的有序互质对的个数

求[1,m]中有序互质对（i，j）的个数：

推个式子

     n     m

　　Σ     Σ    [gcd(a,b)]
　 a=1 b=1

=   Σ     Σ   e（gcd(a,b)）
    a=1 b=1

=  Σ      Σ   1*μ（gcd(a,b)）
   a=1  b=1

= Σ        Σ       Σ   μ（d）
   a=1   b=1   dgcd(a,b)

= Σ    Σ      Σ   μ（d）
   d   da ’  d ’

=Σ μ（d）floor（n/d）floor（m/d）
  d

注：[n]表示若n=1，[n]=1，否则[n]=0

      floor表示下取整

所以枚举每个素数p，

对每个素数p，都求一个si=Σ μ（j）floor（n/p/j）floor（n/p/j）

                                  j

      素数个数                  

ans=Σ si

       i   

耗时：2720ms

#include<cstdio>
#define N 10000001
using namespace std;
bool v[N];
int n,cnt;
long long ans,prime[N],mul[N];
void mobius()
{
    mul[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i]) 
        {
            v[i]=true;
            prime[++cnt]=i;
            mul[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            if(prime[j]*i>n) break;
            v[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mul[i*prime[j]]=0;
                break;
            }
            else mul[i*prime[j]]=-mul[i];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    mobius();
    for(int i=1;i<=cnt;i++) 
     for(int j=1;j<=n/prime[i];j++)
      ans+=mul[j]*(n/prime[i]/j)*(n/prime[i]/j);
    printf("%lld",ans);
}